نظرية بايز والتوزيع البعدي
تعبر نظرية بايز عن التوزيع البعدي للمعلمات المجهولة على أنه يتناسب مع احتمالية البيانات مضروبة في التوزيع القبلي، مما يوفر المحرك لجميع الاستدلالات البايزية.
Definition
تنص نظرية بايز على أن الكثافة البعدية p(theta | y) تساوي الاحتمالية p(y | theta) مضروبة في التوزيع القبلي p(theta) مقسومة على الاحتمالية الهامشية p(y)؛ وبما أن p(y) لا تعتمد على theta، غالبًا ما يُكتب التوزيع البعدي على أنه يتناسب مع الاحتمالية مضروبة في التوزيع القبلي.
Scope
يغطي هذا الموضوع صياغة واشتقاق نظرية بايز للاستدلال، وشكل التناسب، والاحتمالية الهامشية التي تطبع التوزيع البعدي، وكيفية الحصول على الملخصات مثل المتوسطات البعدية، وفترات المصداقية، والتوزيع التنبؤي البعدي.
Core questions
- كيف يُشتق التوزيع البعدي من التوزيع القبلي والاحتمالية؟
- ما هي الاحتمالية الهامشية ولماذا تعمل كثابت تطبيع؟
- كيف تُستخرج التقديرات النقطية وفترات المصداقية من التوزيع البعدي؟
- ما هو التوزيع التنبؤي البعدي وكيف يُحسب؟
Key concepts
- التوزيع القبلي
- الاحتمالية
- التوزيع البعدي
- الاحتمالية الهامشية
- فترة المصداقية
- التوزيع التنبؤي البعدي
- ثابت التطبيع
Key theories
- تناسب التوزيع البعدي
- نظرًا لأن الاحتمالية الهامشية ثابتة بالنسبة للمعلمة، فإن الاستدلال يعتمد فقط على حاصل ضرب الاحتمالية والتوزيع القبلي حتى التطبيع، وهو الشكل الذي تستغله معظم الطرق الحسابية.
- التوزيع التنبؤي البعدي
- يتم التنبؤ بالبيانات المستقبلية أو المكررة عن طريق حساب متوسط توزيع العينات على التوزيع البعدي، ودمج عدم اليقين في المعلمة بدلاً من إدخال تقدير نقطي.
Clinical relevance
يُستخدم الاستدلال البعدي حيثما يجب تقدير كمية ذات أهمية مع عدم يقين معاير، بما في ذلك تفسير الاختبارات التشخيصية، وتقدير المعلمات في العلوم الفيزيائية، والتنبؤ الاحتمالي.
History
تعود القاعدة إلى مقال بايز عام 1763 وقد عممها لابلاس إلى طريقة الاحتمال العكسي. وقد تم ترسيخ التركيز الحديث على التوزيع البعدي الكامل، بدلاً من تقدير واحد للاحتمال العكسي، في الأدبيات البايزية للقرن العشرين.
Key figures
- Thomas Bayes
- Pierre-Simon Laplace
- Harold Jeffreys
Related topics
Seminal works
- gelman2013
- bayes1763
Frequently asked questions
- ما هي فترة المصداقية؟
- فترة المصداقية هي نطاق يحتوي على المعلمة باحتمالية بعدية محددة (على سبيل المثال 95%)؛ على عكس فترة الثقة التكرارية، فهي عبارة احتمالية مباشرة حول المعلمة بالنظر إلى البيانات والتوزيع القبلي.
- لماذا يمكن كتابة التوزيع البعدي دون حساب الاحتمالية الهامشية؟
- الاحتمالية الهامشية ثابتة بالنسبة للمعلمة، لذا فهي تعيد قياس التوزيع البعدي فقط؛ العديد من الخوارزميات مثل MCMC تحتاج إلى التوزيع البعدي فقط حتى هذا الثابت.