环同态

环同态是环之间的结构保持映射，是环理论中的态射，其核是一个理想，其像是一个子环，并受同构定理的支配。

Definition

环同态是环之间的一种函数，它保持加法、乘法和（按惯例）乘法单位元，从而使代数运算得到尊重。

Scope

本主题涵盖了环同态和同构的定义、核和像、环的四个同构定理、特征和素子环，以及商环和求值映射的普适性质。

Core questions

• 映射保持环结构意味着什么？
• 同态的核和像与理想和子环有何关系？
• 同构定理如何通过商环分解同态？
• 求值映射和约化映射如何作为环同态出现？

Key theories

环的第一同构定理

每个环同态都可以分解为一个到其像的满射，然后是一个包含映射，并且其像同构于定义域除以其核（这是一个理想）的商环。

对应和同构定理

通过一个理想进行商化，可以在包含该理想的理想与商环的理想之间建立一个双射，第二、第三和第四同构定理描述了子环、理想和商环在同态作用下如何相互作用。

商环的普适性质

核包含给定理想的同态可以通过该理想的商环唯一分解，因此商环在消灭该理想的同态像中具有普适性。

Clinical relevance

环同态形式化了代数的基本运算：整数或多项式的模约化、多项式的求值以及环嵌入到更大的环中都是同态。它们使环成为一个范畴，并且是数论和代数几何中结构和计算传递的映射。

History

同态和同构定理是埃米·诺特在20世纪20年代的结构代数纲领中从群论抽象到环的，统一了以前在数论和方程理论中逐个处理的构造。

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

为什么环同态的核必须是一个理想？

核在加法下是封闭的，并且由于映射将乘积映射到乘积，且核元素的像为零，因此它吸收了与任何环元素的乘法。这种吸收性质正是理想的定义。

日常代数中环同态的例子有哪些？

整数模n的约化、多项式在固定数处的求值以及复共轭都是环同态。它们都保持加法和乘法，同构定理描述了它们的像作为商环。