理想

理想是环的一个特殊子集，在加法下封闭，在乘法下吸收，它作为同态的核以及形成商环的对象。

Definition

环R的一个理想是一个加法子群，它吸收R中元素的乘法；在交换环中，如果子集I在加法下封闭，并且对于R中的每个r和I中的每个i，ri都在I中，则I是一个理想。

Scope

本主题涵盖左理想、右理想和双边理想；主理想、极大理想和素理想；理想上的运算，如和、积和交集；商环和对应定理；以及通过极大理想和素理想对域和整环的刻画。

Core questions

• 理想与环同态的核有何关系？
• 素理想和极大理想有何区别？它们的商环是怎样的？
• 如何通过和、积和交集从旧理想构建新理想？
• 理想格如何反映环的结构？

Key theories

作为核的理想

环的一个子集是某个环同态的核当且仅当它是一个理想，并且通过理想进行商化会产生一个消灭它的泛同态，这与群论中的正规子群类似。

素理想和极大理想

在带单位元的交换环中，一个理想是素理想当且仅当其商环是一个整环，是极大理想当且仅当其商环是一个域，因此极大理想都是素理想。

格对应

商环的理想与包含所选理想的原环的理想之间存在双射，这使得结构问题可以在环及其商环之间进行转换。

Clinical relevance

理想是环论的核心组织概念：素理想是代数几何谱的点，理想编码多项式方程组，通过理想的商构造可以建立新的环，例如有限域和簇的坐标环。

History

“理想”一词来源于库默尔的理想数，其发明旨在恢复代数数论中的唯一分解；戴德金将其重新表述为集合，即现代的理想。埃米·诺特后来对理想的链条件使其成为抽象环论的支柱。

Key figures

• Richard Dedekind
• Ernst Kummer
• Emmy Noether
• David Hilbert

Seminal works

• dummit2004
• atiyah1969
• hungerford1974

Frequently asked questions

为什么可以用理想对环进行商化，而不能用任意子环？

商环上的乘法只有当子集吸收所有环元素的乘法时才定义良好，这正是理想的条件。一个仅在环运算下封闭的子环通常不会产生一个定义良好的商环。

素理想和极大理想有何不同？

一个理想是素理想当其商环是一个整环，是极大理想当其商环是一个域。由于每个域都是一个整环，所以极大理想总是素理想，但反之不成立；这种差异反映了环的维度。