自由模
自由模是承认基的模，是模理论中与向量空间最接近的类比，也是所有模都是其商的通用构建块。
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Definition
环上的自由模是与环的副本的直和同构的模，等价地，是拥有基（一个线性无关的生成集）的模。
Scope
本主题涵盖了自由模的定义、其泛性质、秩以及交换环的不变维数性质、任意模表示为自由模的商，以及相关的投射模概念。
Core questions
- 模拥有基意味着什么？
- 什么泛性质刻画了自由模？
- 自由模的秩是否定义良好？
- 每个模如何作为自由模的商而产生？
Key theories
- 自由模的泛性质
- 集合上的自由模在接收来自该集合的映射的模中具有泛性：从基到模的任何函数都可以唯一地扩展为模同态，使自由模成为模理论中的自由对象。
- 秩的不变性
- 在带单位元的交换环上，自由模的任意两个基具有相同的基数，因此秩是一个定义良好的不变量，概括了向量空间维数的不变性。
- 自由表示
- 每个模都是自由模通过关系子模的商，从而通过生成元和关系给出表示；当关系模也是自由模时，这就是自由分解，是同调代数的开端。
Clinical relevance
自由模是计算和同调代数的主力：通过自由模的表示和分解计算Tor和Ext等不变量，并且在主理想域上，自由子模和挠子模之间的相互作用产生了规范形式和阿贝尔群分类背后的结构定理。
History
模的基概念概括了向量空间的基和十九世纪算术中的自由阿贝尔群。随着二十世纪中叶同调代数的兴起，自由模及其分解变得至关重要，它们衡量了模偏离自由模的程度。
Key figures
- Emmy Noether
- Heinrich Brandt
- Wolfgang Krull
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- lang2002
- atiyah1969
Frequently asked questions
- 每个模都是自由模吗？
- 不是。在域上，每个模都是自由模，但在一般环上，大多数模不是；例如，整数模n作为整数上的模没有基。自由模正是那些承认基的模。
- 投射模与自由模有何关系？
- 投射模恰好是自由模的直和项，是一个稍大的类别。在某些环上，例如主理想域，有限生成投射模和自由模是重合的，但通常它们是不同的。