整环
整环是具有单位元且无零因子的交换环，它是熟悉的消去律和因式分解概念成立的抽象背景。
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Definition
整环是具有乘法单位元的交换环，其中任意两个非零元素的乘积是非零的，等价地，它是没有零因子的环。
Scope
本主题涵盖整环的定义和基本性质、分式域、域的层次结构、欧几里得环、主理想环和唯一分解环，以及不可约元和素元的概念。
Core questions
- 没有零因子对消去律和因式分解有何保证？
- 整环如何嵌入其分式域中？
- 欧几里得环、主理想环和唯一分解环之间有何关系？
- 不可约元和素元之间有何区别？
Key theories
- 分式域
- 每个整环都嵌入在一个最小的域中，即其分式域，该域由分数的等价类构成，概括了从整数到有理数的推广。
- 环的层次结构
- 域、欧几里得环、主理想环和唯一分解环在整环中形成一个严格递减的性质链，组织了因式分解行为的优劣。
- 素元与不可约元
- 在任何整环中，素元都是不可约的，并且这两个概念在唯一分解环中完全一致，其中分解为不可约元本质上是唯一的。
Clinical relevance
整环是算术行为类似于整数的环：它们是因式分解理论的自然归宿，数论中的整数环是整环，不可约代数簇的坐标环也是整环，这使得该概念与几何学联系起来。
History
该概念抽象了整数以及戴德金和克罗内克研究的代数整数环的算术。欧几里得环、主理想环和唯一分解环的系统比较随着20世纪早期结构环论的出现而发展起来。
Key figures
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Emmy Noether
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Seminal works
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Frequently asked questions
- 为什么排除零因子很重要？
- 没有零因子，消去律成立：如果一个乘积等于零，那么其中一个因子必须为零。这正是因式分解理论良好行为以及将环嵌入分式域所必需的。
- 素元和不可约元是同一个东西吗？
- 通常不是。在整环中，素元总是不可约的，但不可约元不一定是素元；这种不一致导致了因式分解的非唯一性。这两个概念在唯一分解环中精确地重合。