度量张量与微分几何

度量张量规定了时空中的距离和时间，而流形的微分几何提供了在弯曲背景下进行物理学研究所需的工具，包括协变导数、联络和曲率张量。

Definition

度量张量是一个对称的、非退化的二阶张量场，它定义了时空间隔和向量的内积，由此可以推导出广义相对论中唯一的无挠率度量兼容联络和所有曲率量。

Scope

本主题涵盖流形和坐标图、切向量和单形式、度量张量和线元、指标的升降、Levi-Civita联络和Christoffel符号、协变微分以及由度量构建的曲率张量（黎曼、里奇、标量）。

Core questions

• 度量张量如何编码所有关于时空的几何信息？
• 为什么需要协变导数来代替普通的偏导数？
• 曲率张量是如何从度量构建的？

Key concepts

• 流形和坐标图
• 切向量和单形式
• 度量张量和线元
• Christoffel符号
• 协变导数
• 里奇曲率和标量曲率

Key theories

度量和线元

度量张量定义了邻近事件之间的平方间隔和向量的内积，因此长度、角度、时间和因果关系都源自流形上的一个对称张量场。

Levi-Civita联络和曲率

度量兼容性和无挠率特性确定了一个唯一的联络，其Christoffel符号定义了协变微分和平行输运，由此构建了黎曼、里奇和标量曲率。

Clinical relevance

度量和张量微积分是广义相对论中所有定量预测的实用工具，从写下史瓦西和弗里德曼度量等解，到执行用于模拟合并黑洞和中子星的数值相对论模拟。

History

黎曼于1854年将高斯的内蕴几何推广到高维流形；在随后的几十年里，Christoffel、Ricci和Levi-Civita建立了张量的绝对微分微积分，为爱因斯坦和格罗斯曼构建广义相对论提供了所需的精确工具。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gregorio Ricci-Curbastro
• Tullio Levi-Civita
• Elwin Bruno Christoffel

Seminal works

• wald1984
• carroll2004

Frequently asked questions

为什么广义相对论需要协变导数？

张量分量的普通偏导数在任意坐标变换下不作为张量变换；协变导数增加了联络项，使得微分产生真正的张量，并且物理定律在所有坐标系中保持相同的形式。

度量是物理实体还是仅仅是坐标上的便利？

度量是一个物理场：它是广义相对论的引力场，决定了可测量的间隔和物质的运动，其动力学由爱因斯坦场方程确定，而不是自由选择的。