线性多步法

线性多步法通过对多个先前解值和导数的线性组合来计算每个新的解值，重复利用过去的工作，以较低的每步成本实现高阶精度。

Definition

线性多步法是一种常微分方程求解方法，它通过若干个先前解值和右侧函数评估值之间的固定线性关系来确定下一个解值。

Scope

本主题涵盖了Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）族、用于刚性问题的后向微分公式、预测-校正实现、定义零稳定性的特征多项式和根条件，以及限制此类方法所能达到的Dahlquist阶数障碍。

Core questions

• 多步法如何通过每步一次新的函数评估来重复利用过去的值以达到高阶精度？
• 什么是零稳定性？特征多项式的根条件如何表达它？
• 预测-校正对如何在实践中结合显式和隐式公式？
• Dahlquist的阶数障碍对多步法的精度和稳定性限制有何阐述？

Key theories

零稳定性和根条件

当一个多步法是一致的，则它是零稳定的，因此是收敛的，当且仅当其第一个特征多项式的根位于闭合单位圆盘内，且在边界上的根均为单根；这个根条件是多步法稳定性的类比。

Dahlquist障碍

Dahlquist的第一个障碍限制了零稳定k步法的阶数上限，他的第二个障碍表明，没有任何A稳定的线性多步法可以具有超过二阶的阶数，这就是为什么高阶刚性求解器依赖于BDF（后向微分公式）的折衷方案，即相对稳定性而非绝对稳定性。

Mechanisms

Adams方法通过过去的导数值积分插值多项式：Adams-Bashforth仅使用已知值（显式），Adams-Moulton包含未知的新的值（隐式），以获得更高的精度和稳定性。在实践中，两者通常配对作为预测-校正器：显式公式进行预测，隐式公式进行校正，通常迭代一到两次。后向微分公式则通过差分过去的解值来近似新点的导数，从而产生刚性ODE代码核心的刚性稳定方法。由于多步法需要几个起始值，它们通常通过一步法进行引导。

Clinical relevance

线性多步法，特别是后向微分公式，是化学动力学、电子电路仿真和大型微分代数系统中所使用的生产型刚性ODE求解器的核心。在这些领域中，右侧函数的评估成本高昂，通过多步公式重复利用过去的评估可以显著提高效率。

History

Adams和Bashforth在19世纪引入了多步公式，Moulton补充了隐式变体；Dahlquist在20世纪50年代至60年代的分析建立了控制该领域的稳定性理论和阶数障碍，C. William Gear在20世纪70年代的工作使后向微分公式代码成为解决刚性问题的标准。

Key figures

• John Couch Adams
• Francis Bashforth
• Forest Ray Moulton
• Germund Dahlquist
• C. William Gear

Seminal works

• hairer1993
• iserles2008

Frequently asked questions

多步法与Runge-Kutta方法有何不同？

Runge-Kutta方法在每一步内进行几次新的导数评估，但之后会丢弃它们，而多步法则重复利用前几步的导数值。因此，多步法每步成本较低，但需要额外的起始值和对步长变化的特殊处理。

什么是根条件？

它是指方法第一个特征多项式的根必须位于单位圆内或圆上，且边界上的根必须是单根的要求。它保证了小误差不会随着步数的累积而被放大，从而确保方法是零稳定的，进而收敛。