爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程是广义相对论的基本方程，它指出时空的曲率（由爱因斯坦张量捕捉）与物质的能量和动量（由应力-能量张量捕捉）成正比。

Definition

爱因斯坦场方程是一组十个耦合的非线性偏微分方程，将爱因斯坦曲率张量（加上一个宇宙学常数项）等同于应力-能量张量，从而确定物质和能量如何弯曲时空。

Scope

该领域涵盖场方程的形式和意义、爱因斯坦张量和应力-能量张量、它们从爱因斯坦-希尔伯特作用量中的推导、宇宙学常数的作用、其中内置的守恒定律，以及通过施加对称性获得的精确解，例如史瓦西度规和克尔度规。

Sub-topics

• 宇宙学常数
• 爱因斯坦方程与应力-能量张量
• 精确解与对称性
• 史瓦西解

Core questions

• 爱因斯坦场方程如何描述物质与几何之间的关系？
• 这些方程是如何从变分原理中推导出来的？
• 为什么它们难以求解，以及对称性如何使精确解成为可能？

Key concepts

• 爱因斯坦张量
• 应力-能量张量
• 爱因斯坦-希尔伯特作用量
• 宇宙学常数
• 比安基恒等式与守恒定律
• 精确解

Key theories

爱因斯坦场方程

爱因斯坦张量，即里奇曲率和度规的特定组合，等于一个常数乘以应力-能量张量，因此能量和动量的分布决定了时空曲率，同时局部能量-动量守恒自动内置其中。

爱因斯坦-希尔伯特作用量

对时空上的里奇标量积分以及物质作用量进行变分，可以得到场方程，这为它们提供了类似于其他物理理论作用量原理的变分基础。

Clinical relevance

求解场方程可以得出相对论引力的所有定量预测：描述黑洞的度规、宇宙学的膨胀宇宙模型、探测器使用的引力波模板，以及中子星和吸积致密天体周围的强场环境。

History

爱因斯坦在经过数年努力后，于1915年11月得到了最终的场方程，而大卫·希尔伯特几乎同时从一个作用量原理中推导出了它们；几个月内，史瓦西找到了第一个精确解，此后具有各种对称性的精确解被不断编目。

Debates

引力能量的局域化

由于等效原理允许引力场在局部被消除，因此没有公认的引力能量密度局部张量；只存在准局部和全局定义，这是该理论一个持久的概念微妙之处。

Key figures

• Albert Einstein
• David Hilbert
• Karl Schwarzschild
• Roy Kerr

Seminal works

• einstein1916
• mtw1973

Frequently asked questions

为什么爱因斯坦方程如此难以求解？

它们是十个耦合的非线性偏微分方程，其中几何形状既响应物质又影响物质，因此只有在强对称性假设下才存在封闭形式的解；一般情况需要使用超级计算机进行数值相对论计算。

宇宙学常数在方程中起什么作用？

宇宙学常数是一个允许的额外项，与度规成比例，其作用类似于空宇宙的均匀能量；爱因斯坦最初引入它是为了描述一个静态宇宙，后来又被重新启用以解释宇宙加速膨胀，它是暗能量最简单的候选者。