数域和整数环

数域是有理数的有限扩张，其整数环是普通整数的自然算术类比——一个戴德金整环，其中理想（而非元素）可以唯一分解。

Definition

数域是有理数的有限次域扩张；其整数环由作为整数系数首一多项式根的元素组成，形成一个戴德金整环。

Scope

本主题涵盖代数数和代数整数、数域及其次数和嵌入、作为整数在数域中的整闭包的整数环、整基和数域判别式、整数环作为戴德金整环的特征，以及非零理想到素理想的唯一分解。

Core questions

• 数域中的哪些元素被视为整数，以及它们为何形成一个环？
• 什么是整基，数域的判别式是如何定义和计算的？
• 哪些性质使得整数环成为戴德金整环？
• 理想的唯一分解如何取代元素的唯一分解？

Key theories

整数环和整闭包

数域中的代数整数形成其整数环，即整数在该域中的整闭包；它是一个秩等于域次数的自由模，具有一个整基。

戴德金整环和理想的分解

整数环是诺特环、整闭环，且维数为一——即戴德金整环——在任何戴德金整环中，每个非零理想都可以唯一分解为素理想。

判别式

整基的判别式是域的一个整数不变量，它能检测分歧素数，并通过闵可夫斯基界和赫尔米特有限性定理对域进行约束。

Clinical relevance

整数环及其理想结构是数域筛分解算法和理想格密码学的基础，其中整数环的算术是难题和高效操作的来源。

History

库默尔在19世纪40年代研究了分圆整数和理想数。戴德金在19世纪70年代狄利克雷讲义的补充中，定义了整数环和理想的现代概念，证明了理想的唯一分解，并奠定了抽象理论的基础。

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

整数环总是唯一分解整环吗？

不。元素不一定能唯一分解，但该环始终是戴德金整环，因此理想可以；当其类数为一时，该环才是一个唯一分解整环。

判别式能告诉我们什么？

域判别式是一个整数不变量，其素因子恰好是域中分歧的素数，其大小限制了域的复杂程度。