哥德尔定理及其哲学

哥德尔通过将自指编码到算术中，证明了任何一个足够丰富以表达算术的、一致的形式系统都包含其无法证明的真语句。

Definition

哥德尔第一不完备定理指出，任何一个一致的、可有效公理化的、能够表达初等算术的形式系统都包含一个它既不能证明也不能反驳的真语句；第二定理指出，任何这样的系统都不能证明自身的一致性。

Scope

本主题涵盖哥德尔不完备定理及其哲学解释。它探讨了算术化（哥德尔编码）技术和构造自指“我不可证明”语句的对角线引理；第一定理（此类系统是不完备的）和第二定理（它们无法证明自身的一致性）；以及这些定理在哲学上的争议性应用——关于形式主义和希尔伯特纲领局限性的主张，以及卢卡斯-彭罗斯关于人类思维超越任何算法的论证。

Core questions

• 哥德尔编码如何让算术谈论自身的证明？
• 不完备定理究竟确立了什么，以及适用于哪些系统？
• 这些定理对希尔伯特纲领和逻辑主义意味着什么？
• 这些定理是否表明心智超越了机器？

Key concepts

• 哥德尔编码（算术化）
• 对角线引理
• 哥德尔语句
• 第一和第二不完备定理
• 希尔伯特纲领
• 一致性和ω-一致性

Key theories

通过对角化实现不完备性

哥德尔将语法算术化，使得一个公式可以表达自身的不可证明性；由此产生的语句是真（如果系统是一致的）但不可证明的，从而确立了不完备性，而第二定理表明一致性本身在系统内部是不可证明的。

卢卡斯-彭罗斯论证

卢卡斯从哥德尔定理出发论证，因为人类能够看出任何模拟心智的一致机器的哥德尔语句的真理性，所以心智不可能是这样的机器；这一论证受到广泛争议。

History

哥德尔于1931年证明了不完备定理，决定性地限制了希尔伯特通过有限手段证明数学完备性和一致性的纲领。这些结果在数学哲学和心智哲学领域引起了巨大反响，卢卡斯（1961年）以及后来的彭罗斯从中得出了反机械论的结论，引发了大量的批判性文献。

Debates

这些定理是否驳斥了关于心智的机械论？

卢卡斯-彭罗斯论证是否有效地从不完备性推断出人类的数学洞察力超越了任何算法，或者它是否通过假设我们总是能知道自身的一致性并识别相关的哥德尔语句而过度推断。

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

哥德尔定理是否意味着数学是“坏掉的”？

不。它意味着没有一个单一的一致形式系统能够证明所有的算术真理，也没有一个系统能够从内部证明自身的一致性。数学运行得很好；这些定理反而对任何固定的公理系统能完成的任务设定了原则性的限制，驳斥了对一个完备的、自证的基础的希望。