集合论悖论与类型论
不包含自身的集合的集合，既包含自身又不包含自身——罗素悖论推翻了朴素集合论，重塑了逻辑学基础。
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Definition
集合论悖论是朴素集合论中从无限制概括原则（即每个条件都定义一个集合）推导出的矛盾；类型论通过将实体排序为类型层次结构并禁止集合属于自身来阻止这些悖论。
Scope
本主题涵盖了逻辑和集合论悖论及其引发的基础性回应。它探讨了罗素关于所有非自含集合的悖论、布拉利-福尔蒂关于最大序数的悖论以及康托尔关于全集的悖论；罗素通过恶性循环原则进行的诊断及其在《数学原理》中提出的分支类型论；以及通过限制概括原则以避免悖论的公理化（策梅洛-弗兰克尔）集合论的替代性回应。
Core questions
- 朴素集合论中的哪个假设产生了罗素悖论？
- 避免悖论是否需要恶性循环原则和类型限制？
- 类型论和公理化集合论作为回应有何不同？
- 逻辑悖论与语义悖论本质上是相同的吗？
Key concepts
- 无限制概括原则
- 罗素悖论
- 布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论
- 恶性循环原则
- 类型论
- 分离公理
Key theories
- 分支类型论
- 罗素通过恶性循环原则和类型层次结构来阻止悖论，其中实体只能在层次结构中较低的实体上定义，从而防止自含和自适用定义。
- 受限概括原则
- 公理化集合论（策梅洛-弗兰克尔）放弃了无限制概括原则，转而采用分离和替换公理，因此无法形成所有非自含集合的集合，从而在没有类型层次结构的情况下消解了罗素悖论。
History
罗素在1901年研究弗雷格的逻辑主义时发现了他的悖论，从而动摇了弗雷格的基本定律V。罗素1908年的类型论和1910年的《数学原理》提供了一种解决方案；策梅洛1908年的公理化（后来由弗兰克尔扩展）提供了另一种解决方案，这两种方法构成了现代基础和逻辑学与计算机科学中使用的简单类型论的基石。
Debates
- 类型论与公理化集合论
- 关于悖论是最好通过基于恶性循环原则的类型层次结构来避免，还是通过限制集合存在公理来避免，以及每种方法对集合、类以及可预测定义与不可预测定义的性质意味着什么。
Key figures
- Bertrand Russell
- Alfred North Whitehead
- Gottlob Frege
- Ernst Zermelo
- Cesare Burali-Forti
Related topics
Seminal works
- russell1908
- whiteheadrussell1910
Frequently asked questions
- 用通俗易懂的语言解释什么是罗素悖论？
- 考虑所有不包含自身的集合R。问R是否是它自身的成员。如果是，那么根据其自身的定义，它就不应该是；如果不是，那么它就符合条件，应该成为其成员。任何一个答案都与另一个答案相矛盾，这表明朴素集合论中任何性质都定义一个集合的假设必然是错误的。