Hạt trong Hộp và Giếng Thế năng

Hạt trong hộp và giếng thế năng vuông là những hệ lượng tử đơn giản nhất có thể giải chính xác: việc giam giữ một hạt buộc năng lượng của nó phải ở các mức rời rạc và hàm sóng của nó phải ở dạng sóng dừng, minh họa sự lượng tử hóa ở dạng thuần túy nhất.

Definition

Hạt trong hộp là một mô hình của một hạt lượng tử bị giam giữ trong một vùng bởi một thế năng sâu vô hạn hoặc hữu hạn, với các trạng thái dừng là sóng dừng có năng lượng lượng tử hóa được xác định bởi các điều kiện biên.

Scope

Chủ đề này bao gồm giếng vuông vô hạn với các mức năng lượng chính xác và sóng dừng hình sin, giếng vuông hữu hạn với số lượng trạng thái liên kết hạn chế và sự rò rỉ theo hàm mũ vào các vùng bị cấm theo cổ điển, các điều kiện khớp nối trên hàm sóng và đạo hàm của nó tại các biên, năng lượng điểm không, và sự mở rộng sang hộp hai và ba chiều với các mức suy biến.

Core questions

• Tại sao việc giam giữ một hạt lại tạo ra các mức năng lượng rời rạc?
• Hàm sóng phải thỏa mãn những điều kiện biên nào tại các thành của một giếng?
• Tại sao một giếng hữu hạn chỉ hỗ trợ một số lượng giới hạn các trạng thái liên kết?
• Năng lượng điểm không là gì và tại sao nó không thể bị loại bỏ?

Key concepts

• giếng vuông vô hạn
• giếng vuông hữu hạn
• sóng dừng
• điều kiện biên
• năng lượng điểm không
• suy biến

Key theories

Giếng vuông vô hạn

Một hạt bị giam giữ giữa các thành không thể xuyên qua có các hàm sóng triệt tiêu tại các thành, buộc các sóng dừng phải có số nguyên nửa bước sóng và năng lượng tăng theo bình phương của số nguyên đó, là ví dụ rõ ràng nhất về sự lượng tử hóa.

Giếng vuông hữu hạn

Khi các thành có chiều cao hữu hạn, hàm sóng rò rỉ theo hàm mũ vào vùng bị cấm và giếng chỉ hỗ trợ một số hữu hạn các trạng thái liên kết được xác định bởi một điều kiện khớp nối siêu việt, với ít nhất một trạng thái liên kết luôn hiện diện trong một chiều.

Clinical relevance

Mô hình hộp là nền tảng của khoa học nano: các giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử trong chất bán dẫn hoạt động như các hạt trong các hộp được thiết kế, với các mức năng lượng rời rạc của chúng điều chỉnh màu sắc của màn hình chấm lượng tử và hoạt động của laser và bộ tách sóng giếng lượng tử.

History

Mô hình hạt bị giam giữ xuất hiện ngay sau phương trình Schrodinger năm 1926 như là minh họa đơn giản nhất về sự lượng tử hóa; nó trở nên quan trọng trở lại vào cuối thế kỷ XX khi công nghệ epitaxy chùm phân tử cho phép chế tạo các giếng lượng tử bán dẫn thực tế phù hợp với lý tưởng hóa trong sách giáo khoa.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Arnold Sommerfeld
• Lev Landau

Seminal works

• griffiths2018
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

Tại sao năng lượng thấp nhất trong một hộp phải lớn hơn không?

Việc giam giữ một hạt vào một vùng hữu hạn buộc hàm sóng của nó phải cong và tạo ra một độ trải động lượng khác không theo nguyên lý bất định, do đó động năng không thể triệt tiêu; mức tối thiểu không thể giảm này là năng lượng điểm không.

Giếng hữu hạn khác giếng vô hạn như thế nào?

Một giếng vô hạn có vô số trạng thái liên kết và các hàm sóng triệt tiêu hoàn toàn tại các thành, trong khi một giếng hữu hạn chỉ hỗ trợ một số hữu hạn các trạng thái liên kết mà các hàm sóng của chúng mở rộng một khoảng cách ngắn vào vùng bị cấm theo cổ điển.