Các nghiệm Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Việc tìm kiếm các mức năng lượng và hàm sóng dừng của một hạt lượng tử trong một thế năng là nhiệm vụ đầu tiên của cơ học lượng tử tính toán, được giải quyết bằng cách bắn dọc theo hàm sóng hoặc bằng cách chéo hóa Hamiltonian rời rạc.

Definition

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian là một phương trình giá trị riêng mà các nghiệm của nó là các trạng thái dừng và mức năng lượng của một hệ lượng tử; giải nó bằng số có nghĩa là tìm các giá trị riêng và hàm riêng đó cho một thế năng đã cho.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc giải số phương trình Schrodinger dừng trong một và một vài chiều: phương pháp bắn và khớp với tìm kiếm giá trị riêng, phương pháp tích phân Numerov, và các phương pháp ma trận rời rạc hóa Hamiltonian trên một lưới hoặc trong một cơ sở. Nó xử lý các trạng thái liên kết và, tóm tắt, các trạng thái tán xạ.

Core questions

• Phương pháp bắn tìm các giá trị riêng năng lượng bằng cách thực thi các điều kiện biên như thế nào?
• Tại sao phương pháp Numerov rất phù hợp để tích phân phương trình Schrodinger?
• Việc rời rạc hóa Hamiltonian biến bài toán thành chéo hóa ma trận như thế nào?
• Các trạng thái liên kết rời rạc được phân biệt với phổ liên tục như thế nào?

Key theories

Phương pháp bắn và khớp

Hàm sóng được tích phân từ các biên vào trong cho một năng lượng thử nghiệm, và năng lượng được điều chỉnh cho đến khi các nghiệm từ trong và từ ngoài khớp một cách trơn tru, điều này chọn ra các giá trị riêng được phép.

Tích phân Numerov

Phương pháp Numerov khai thác cấu trúc đặc biệt của phương trình Schrodinger, không có số hạng đạo hàm bậc nhất, để đạt được độ chính xác bậc cao với chi phí thấp khi tích phân hàm sóng.

Chéo hóa ma trận Hamiltonian

Biểu diễn Hamiltonian trên một lưới hoặc trong một cơ sở hữu hạn tạo ra một ma trận mà các giá trị riêng của nó là các mức năng lượng và các vectơ riêng của nó là các hàm sóng rời rạc, được tìm thấy bằng các bộ giải giá trị riêng tiêu chuẩn.

Clinical relevance

Giải phương trình Schrodinger dừng cho các mức năng lượng nguyên tử và phân tử, phổ của các giếng lượng tử và cấu trúc nano, và các quỹ đạo một hạt cung cấp dữ liệu cho các tính toán cấu trúc điện tử.

History

Việc tích phân số phương trình Schrodinger đã được thực hiện ngay sau khi nó được xây dựng vào năm 1926, với phương pháp Numerov, ban đầu được thiết kế cho cơ học thiên thể, trở thành một công cụ chủ yếu; sự phát triển của máy tính đã biến việc chéo hóa Hamiltonian hoàn chỉnh thành một lựa chọn thay thế thường xuyên.

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

Khi nào nên sử dụng phương pháp bắn thay vì chéo hóa ma trận?

Phương pháp bắn là tự nhiên và chính xác cho các bài toán một chiều hoặc xuyên tâm khi chỉ tìm một giá trị riêng tại một thời điểm. Chéo hóa ma trận thuận tiện hơn khi cần nhiều mức năng lượng cùng một lúc hoặc trong các chiều cao hơn nơi phương pháp bắn trở nên khó khăn.

Tại sao phương pháp Numerov được ưu tiên cho phương trình này?

Phương trình Schrodinger không có số hạng đạo hàm bậc nhất, điều mà lược đồ Numerov được thiết kế đặc biệt để khai thác, mang lại độ chính xác bậc bốn với ít công sức bổ sung so với một bộ tích phân cơ bản.