Lý thuyết nhiễu loạn và các phương pháp xấp xỉ
Hầu hết các bài toán lượng tử không thể giải chính xác, vì vậy các phương pháp xấp xỉ là rất cần thiết; lý thuyết nhiễu loạn coi một hệ thống như một hệ có thể giải được cộng với một hiệu chỉnh nhỏ, trong khi các phương pháp biến phân và WKB giới hạn hoặc ước tính năng lượng và hàm sóng trong các chế độ khác.
Definition
Các phương pháp xấp xỉ trong cơ học lượng tử là các kỹ thuật có hệ thống để ước tính năng lượng, trạng thái và tốc độ chuyển đổi khi phương trình Schrodinger không thể giải chính xác, trong đó các phương pháp chính là lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân và xấp xỉ bán cổ điển WKB.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm lý thuyết nhiễu loạn độc lập với thời gian để hiệu chỉnh năng lượng và trạng thái, kể cả các trường hợp suy biến, lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian và quy tắc vàng của Fermi cho tốc độ chuyển đổi, nguyên lý biến phân giới hạn năng lượng trạng thái cơ bản từ phía trên, và xấp xỉ bán cổ điển WKB cho các thế năng biến đổi chậm và hiệu ứng đường hầm.
Sub-topics
Core questions
- Mức năng lượng và trạng thái được hiệu chỉnh như thế nào khi một nhiễu loạn nhỏ được thêm vào?
- Tốc độ chuyển đổi giữa các trạng thái được tính toán như thế nào dưới ảnh hưởng phụ thuộc thời gian?
- Làm thế nào để giới hạn năng lượng trạng thái cơ bản mà không cần giải chính xác phương trình?
- Khi nào một xấp xỉ bán cổ điển cho kết quả chính xác?
Key concepts
- khai triển nhiễu loạn
- lý thuyết nhiễu loạn suy biến
- quy tắc vàng của Fermi
- nguyên lý biến phân
- hàm sóng thử
- xấp xỉ WKB
Key theories
- Lý thuyết nhiễu loạn
- Khai triển năng lượng và trạng thái theo các lũy thừa của một nhiễu loạn nhỏ cho các hiệu chỉnh theo từng bậc, với sự dịch chuyển năng lượng hàng đầu bằng giá trị kỳ vọng của nhiễu loạn, và dạng phụ thuộc thời gian của nó tạo ra quy tắc vàng của Fermi cho tốc độ chuyển đổi giữa các trạng thái.
- Các phương pháp biến phân và WKB
- Nguyên lý biến phân đảm bảo rằng giá trị kỳ vọng của Hamiltonian trong bất kỳ trạng thái thử nào là một cận trên của năng lượng trạng thái cơ bản, trong khi xấp xỉ WKB xây dựng các hàm sóng từ một bước sóng cục bộ biến đổi chậm, chính xác khi thế năng thay đổi ít trên một bước sóng.
Clinical relevance
Các phương pháp này giúp cơ học lượng tử có thể áp dụng cho các hệ thống thực tế: lý thuyết nhiễu loạn dự đoán sự tách Stark và Zeeman cũng như tốc độ chuyển đổi nguyên tử, phương pháp biến phân đưa ra năng lượng trạng thái cơ bản chính xác trong hóa học lượng tử, và WKB giải thích tốc độ đường hầm và các điều kiện lượng tử hóa trong vật lý nguyên tử, hạt nhân và chất rắn.
History
Rayleigh và Schrodinger đã phát triển lý thuyết nhiễu loạn độc lập với thời gian vào những năm 1920; Dirac đã xây dựng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian và Fermi đã phổ biến quy tắc vàng cho tốc độ chuyển đổi, trong khi phương pháp WKB được Wentzel, Kramers và Brillouin giới thiệu độc lập vào năm 1926.
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- Khi nào lý thuyết nhiễu loạn thất bại?
- Nó thất bại khi nhiễu loạn không nhỏ so với khoảng cách năng lượng, khi các mức gần như suy biến khiến các mẫu số trở nên vô hạn, hoặc khi chuỗi không hội tụ; trong những trường hợp như vậy, cần sử dụng các phương pháp biến phân, bán cổ điển hoặc số học thay thế.
- Tại sao phương pháp biến phân luôn ước tính quá cao năng lượng trạng thái cơ bản?
- Bất kỳ trạng thái thử nào cũng là một hỗn hợp của các trạng thái riêng thực sự, và vì tất cả các năng lượng trạng thái kích thích đều nằm trên trạng thái cơ bản, giá trị kỳ vọng của Hamiltonian là một trung bình có trọng số không bao giờ có thể thấp hơn giá trị riêng thấp nhất.