Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian cho biết hàm sóng tiến hóa như thế nào, và việc tách sự phụ thuộc thời gian sẽ rút gọn nó thành phương trình không phụ thuộc thời gian, một bài toán giá trị riêng mà các nghiệm của nó là các trạng thái dừng với năng lượng xác định.

Definition

Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian phát biểu rằng Hamiltonian tạo ra sự tiến hóa thời gian của hàm sóng, trong khi phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian là phương trình giá trị riêng thu được mà các nghiệm của nó là các trạng thái dừng có năng lượng xác định.

Scope

Chủ đề này bao gồm phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian và bảo toàn xác suất, tách biến cho các Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, phương trình không phụ thuộc thời gian như một bài toán giá trị riêng năng lượng, các trạng thái dừng và sự tiến hóa pha tầm thường của chúng, sự mở rộng của một trạng thái tổng quát trong các trạng thái riêng năng lượng, và bộ truyền (propagator) làm tiến triển bất kỳ trạng thái nào theo thời gian.

Core questions

• Hamiltonian xác định sự tiến hóa của bất kỳ trạng thái lượng tử nào như thế nào?
• Tại sao việc tách thời gian khỏi không gian lại tạo ra một bài toán giá trị riêng năng lượng?
• Điều gì đặc biệt về các trạng thái dừng dưới sự tiến hóa thời gian?
• Trạng thái tương lai của một chồng chất tùy ý được tính toán như thế nào?

Key concepts

• Toán tử Hamiltonian
• trạng thái dừng
• giá trị riêng năng lượng
• tách biến
• bảo toàn xác suất
• bộ truyền

Key theories

Tách biến

Khi Hamiltonian không có sự phụ thuộc thời gian rõ ràng, các nghiệm có dạng hàm không gian nhân với pha thời gian sẽ rút gọn phương trình đầy đủ thành bài toán giá trị riêng không phụ thuộc thời gian, với mỗi trạng thái riêng năng lượng chỉ thu được một pha dao động khi thời gian trôi qua.

Khai triển phổ và bộ truyền

Bất kỳ trạng thái ban đầu nào cũng có thể được viết dưới dạng chồng chất của các trạng thái riêng năng lượng, mỗi trạng thái tiến hóa theo pha riêng của nó, do đó sự tiến hóa thời gian đầy đủ được nắm bắt bởi một bộ truyền được xây dựng từ phổ năng lượng ánh xạ trạng thái tại một thời điểm đến bất kỳ thời điểm nào sau đó.

Clinical relevance

Cặp phương trình này là điểm khởi đầu cho gần như tất cả các tính toán lượng tử: các trạng thái dừng cho các vạch phổ được đo trong quang phổ nguyên tử và phân tử, trong khi dạng phụ thuộc thời gian chi phối các chuyển đổi, động lực học gói sóng và điều khiển mạch lạc của các qubit trong công nghệ lượng tử.

History

Schrodinger đã trình bày cả hai dạng phương trình của mình trong loạt bài báo năm 1926, ngay lập tức áp dụng phương trình không phụ thuộc thời gian cho nguyên tử hydro; Dirac và von Neumann sau đó đã diễn giải lại sự tiến hóa thời gian bằng ngôn ngữ toán tử trừu tượng của các bộ truyền đơn nhất (unitary propagators).

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

Tại sao nó được gọi là trạng thái dừng nếu nó vẫn tiến hóa theo thời gian?

Một trạng thái dừng chỉ thu được một pha dao động tổng thể, pha này triệt tiêu trong bất kỳ xác suất đo lường hoặc giá trị kỳ vọng nào, do đó tất cả các tính chất quan sát được vẫn không đổi theo thời gian mặc dù bản thân hàm sóng vẫn tiếp tục quay trong mặt phẳng phức.

Khi nào có thể sử dụng phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian?

Nó áp dụng khi Hamiltonian không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian, cho phép tách biến; đối với các thế biến thiên theo thời gian, người ta phải giải phương trình phụ thuộc thời gian đầy đủ hoặc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.