İstatistiksel Karar Kuramı
İstatistiksel karar kuramı, tahmin ve test süreçlerini belirsizlik altındaki seçimler olarak ele almakta, bu seçimlerin oluşturduğu beklenen kayba göre değerlendirmekte ve hangi karar kurallarının en uygun olduğunu araştırmaktadır.
Tanım
İstatistiksel karar kuramı, Wald tarafından geliştirilen bir çerçeve olup, istatistiksel bir prosedürün verileri eylemlere dönüştüren bir karar kuralı olarak ele alındığı, kayıp fonksiyonunun beklenen değeri olan riskiyle değerlendirildiği ve kabul edilebilirlik, minimaxlık ve Bayes optimalliği gibi kriterlerle diğer kurallarla karşılaştırıldığı bir yaklaşımdır.
Kapsam
Bu alan, kayıp fonksiyonlarını ve beklenen kayıp olarak risk fonksiyonunu, karar kurallarının karşılaştırılmasını, kabul edilebilirlik ve kabul edilemezliği, en kötü durum riskini minimize eden minimax kurallarını, bir önsel (prior) altında ortalama riski minimize eden Bayes kurallarını, Bayes, minimax ve en az tercih edilen önsel (least-favorable prior) arasındaki ilişkiyi, rastgeleleştirilmiş kararları ve risk kümesinin geometrisini, ayrıca dikkate alınmaya değer kuralları karakterize eden tam sınıf teoremlerini kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Kayıp ve risk, istatistiksel bir prosedürün kalitesini nasıl biçimlendirmektedir?
- Bir karar kuralının kabul edilebilir veya kabul edilemez olması ne anlama gelmektedir?
- Minimax kuralları, Bayes kuralları ve en az tercih edilen önsel (least-favorable prior) ile nasıl ilişkilidir?
- Hangi karar kuralları, dikkatimizi sınırlamaya değer tam bir sınıf oluşturmaktadır?
Temel kuramlar
- Risk ve kabul edilebilirlik
- Her kuralın parametre uzayı üzerinde bir risk fonksiyonu bulunmaktadır; başka bir kuralın her yerde daha büyük olmayan ve bir yerde kesinlikle daha küçük riski varsa bir kural kabul edilemezdir, aksi takdirde kabul edilebilir olarak değerlendirilmektedir.
- Bayes ve minimax kuralları
- Bir Bayes kuralı, bir önsel (prior) altında ortalama riski minimize etmektedir; bir minimax kuralı en kötü durum riskini minimize etmektedir; ve belirli koşullar altında bir minimax kuralı, en az tercih edilen bir önsel (least-favorable prior) karşısında Bayes kuralı olmakta, böylece iki kriteri birbirine bağlamaktadır.
- Tam sınıf teoremleri
- Dışbükeylik ve kompaktlık koşulları altında, kabul edilebilir kurallar esasen Bayes kuralları ve bunların limitleriyle örtüşmektedir; bu nedenle dikkat, herhangi bir kayıp olmaksızın bu tam sınıfla sınırlandırılabilmektedir.
Klinik önem
Karar kuramsal risk, tahmin edicilerin ve sınıflandırıcıların beklenen kayba göre karşılaştırılmasına, tıbbi tarama ve operasyonlarda maliyet duyarlı kararların tasarımına ve tek bir kuralın baskın olmadığı durumlarda prosedürler arasında ilkesel seçim yapılmasına temel oluşturmakta, böylece hem Bayesçi hem de frekansçı metodolojiler için kavramsal bir omurga sağlamaktadır.
Tarihçe
Wald, 1940'larda istatistiksel karar kuramını kurmuş, tahmin ve test süreçlerini risk altındaki kararlar olarak birleştirmiş ve erken dönem tam sınıf ve minimax sonuçlarını kanıtlamıştır. Blackwell, Stein ve diğerleri kabul edilebilirliği ve Bayes kurallarıyla bağlantısını geliştirmiş, bu bilgiler Berger'in monografisinde pekiştirilmiştir.
Tartışmalar
- Minimax ve Bayes kriterleri
- Minimaxlık en kötü duruma karşı koruma sağlamakla birlikte aşırı karamsar olabilmektedir; oysa Bayes optimalliği haklı çıkarılması zor olabilecek bir önsele (prior) bağlıdır; karar kuramı, tek bir seçimi dikte etmeksizin bu dengeyi açıklığa kavuşturmaktadır.
Öne çıkan isimler
- Abraham Wald
- James O. Berger
- Charles Stein
- David Blackwell
İlgili konular
Temel eserler
- berger1985
Sıkça sorulan sorular
- Kayıp fonksiyonu nedir?
- Belirli bir parametre değeri doğru olduğunda belirli bir eylemi gerçekleştirmenin maliyetini nicel olarak ifade etmektedir; yaygın seçimler tahmin için karesel hata ve sınıflandırma için sıfır-bir kaybıdır ve risk, bunun beklenen değeridir.
- Kabul edilebilir bir kural her zaman iyi bir kural mıdır?
- Her zaman değil. Kabul edilebilirlik, başka hiçbir kuralın onu her yerde domine etmediği anlamına gelmektedir; bazı kabul edilebilir kurallar genel olarak zayıf olabilmekte ve bazı mükemmel kurallar kabul edilemezdir, bu nedenle kabul edilebilirlik yeterli bir erdemden ziyade asgari bir erdemdir.