Koşullu Beklenti
Koşullu beklenti, bir alt sigma-cebirdeki bilgiye dayalı olarak bir rastgele değişkenin en iyi tahminidir; Radon-Nikodym teoremi aracılığıyla soyut olarak tanımlanmakta ve mevcut bilgiye saygı duyan bir ortalama alma projeksiyonu gibi davranmaktadır.
Tanım
Bir alt sigma-cebir verildiğinde, integrallenebilir bir rastgele değişkenin koşullu beklentisi, hemen hemen kesin eşitliğe kadar tek olan, o alt sigma-cebire göre ölçülebilir ve içindeki her küme üzerinde orijinal değişkenle aynı integrale sahip integrallenebilir fonksiyondur.
Kapsam
Konu, bir alt sigma-cebir verildiğinde koşullu beklentinin tanımını, Radon-Nikodym teoremi aracılığıyla varlığını ve hemen hemen kesin tekliğini, kule (tower), bilineni dışarı çıkarma (taking-out-what-is-known) ve koşullu-Jensen özelliklerini, kare-integrallenebilir değişkenler uzayında bir ortogonal projeksiyon olarak yorumlanmasını, koşullu olasılığı ve düzenli koşullu dağılımları ve koşullandırmanın martingallerin ve Bayesçi güncellemelerin motoru olarak rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Beklenti, olasılığı sıfır olan olayları içerebilecek bilgilere göre nasıl koşullandırılabilir?
- Koşullu beklenti neden sadece hemen hemen kesin bir boş kümeye kadar tektir?
- Koşullu beklenti, bir rastgele değişkenin en iyi tahmincisi hangi anlamda olmaktadır?
- Kule (tower) ve dışarı çıkarma (pull-out) özellikleri koşullu beklentiyi nasıl daha kolay ele alınabilir kılmaktadır?
Anahtar kavramlar
- koşullandırma sigma-cebiri
- Radon-Nikodym türevi
- kule özelliği
- en küçük kareler projeksiyonu
- düzenli koşullu dağılım
Temel kuramlar
- Radon-Nikodym Aracılığıyla Varlık
- Koşullu beklenti mevcuttur, çünkü rastgele değişkenin alt sigma-cebirin kümeleri üzerinde integrallenmesiyle elde edilen ölçü, kısıtlanmış olasılık ölçüsüne göre mutlak süreklidir ve bunun Radon-Nikodym türevi koşullu beklentidir.
- Kule özelliği
- Daha ince bir sigma-cebir üzerinde koşullandırdıktan sonra daha kaba bir sigma-cebir üzerinde koşullandırmak, daha kaba koşullu beklentiyi döndürmektedir; bu nedenle tekrarlanan koşullandırma en kaba seviyeye çökmektedir; bu düzeltme özdeşliği martingale kuramı ve filtreleme için temeldir.
- Projeksiyon karakterizasyonu
- Kare-integrallenebilir değişkenler için koşullu beklenti, koşullandırma sigma-cebirine göre ölçülebilir değişkenlerin alt uzayına ortogonal projeksiyondur; bu da onu mevcut bilgiye göre en küçük kareler-optimal tahminci yapmaktadır.
Klinik önem
Koşullu beklenti, belirsizlik altında tahmin ve güncellemenin biçimsel temelidir: martingalleri tanımlamakta, Kalman filtresi ve doğrusal olmayan filtrelemenin altında yatmaktadır, Bayesçi sonsal ortalamaları ifade etmekte ve risk-nötr bir ölçü altında koşullu beklenti olarak bir koşullu talebin arbitrajsız fiyatını vermektedir.
Tarihçe
Kolmogorov, 1933 yılında bir sigma-cebire göre koşullu beklentinin genel tanımını sunmuş, bunu Radon-Nikodym teoremine dayandırarak boş olaylar üzerindeki koşullandırma paradokslarını çözmüştür; Doob ise daha sonra bunu martingale kuramının temeli haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Andrey Kolmogorov
- Joseph L. Doob
- Johann Radon
- Otton Nikodym
İlgili konular
Temel eserler
- williams1991
Sıkça sorulan sorular
- Koşullu beklenti neden bir sayı yerine bir rastgele değişkendir?
- Çünkü koşullandırma bilgisinin her olası durumu için tahmin edilen değeri kodlaması gerekmektedir; bu bilgi örneklem uzayı üzerinde değiştikçe tahmin edilen değer de değişmekte, bu da koşullu beklentiyi koşullandırma sigma-cebirine göre ölçülebilir bir fonksiyon haline getirmektedir.
- Bir sigma-cebir üzerinde koşullandırma, bir olay üzerinde koşullandırmayı nasıl genelleştirmektedir?
- Pozitif olasılıklı bir olay üzerinde koşullandırma, alt sigma-cebirin o olay ve tümleyeni tarafından üretildiği özel bir durumdur; genel tanım bunu, tek bir pozitif olasılıklı olay tarafından yakalanamayan bilgilere genişletmektedir.