ทฤษฎีสตวร์ม-ลียูวิลล์

ทฤษฎีสตวร์ม-ลียูวิลล์วิเคราะห์ปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้นอันดับสองประเภทหนึ่ง ซึ่งค่าเฉพาะเป็นจำนวนจริงและไม่ต่อเนื่อง และฟังก์ชันเฉพาะประกอบกันเป็นฐานเชิงตั้งฉากที่สมบูรณ์

Definition

ปัญหาสตวร์ม-ลียูวิลล์มุ่งหาค่าของพารามิเตอร์ที่ทำให้สมการ -(p y ไพรม์) ไพรม์ บวก q y เท่ากับ แลมบ์ดา w y มีผลเฉลยที่ไม่ใช่ผลเฉลยชัด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด พารามิเตอร์ที่ยอมรับได้คือค่าเฉพาะ และผลเฉลยที่สอดคล้องกันคือฟังก์ชันเฉพาะ

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมรูปแบบสตวร์ม-ลียูวิลล์แบบสมมาตรในตัว ปัญหาปกติและเอกฐาน ความเป็นจริงและการจัดเรียงของค่าเฉพาะ การแกว่งและการสลับของฟังก์ชันเฉพาะ การตั้งฉากเทียบกับฟังก์ชันน้ำหนัก และการกระจายฟังก์ชันเฉพาะที่ขยายอนุกรมฟูเรียร์และให้พหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิกและฟังก์ชันพิเศษ

Core questions

• ค่าเฉพาะและฟังก์ชันเฉพาะของปัญหาค่าขอบเขตที่กำหนดคืออะไร?
• เหตุใดค่าเฉพาะจึงเป็นจำนวนจริงและฟังก์ชันเฉพาะจึงตั้งฉากกัน?
• ฟังก์ชันเฉพาะตัวที่ n มีศูนย์กี่ตำแหน่ง และมีการกระจายตัวอย่างไร?
• ฟังก์ชันใดๆ สามารถขยายในรูปของฟังก์ชันเฉพาะได้เมื่อใด?

Key theories

ทฤษฎีสเปกตรัมสำหรับปัญหาสตวร์ม-ลียูวิลล์แบบปกติ

ปัญหาสตวร์ม-ลียูวิลล์แบบสมมาตรในตัวปกติมีค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงอนันต์จำนวนมากที่เพิ่มขึ้นสู่ค่าอนันต์ โดยมีฟังก์ชันเฉพาะที่ตั้งฉากภายใต้ฟังก์ชันน้ำหนักและประกอบกันเป็นฐานที่สมบูรณ์สำหรับการกระจาย

ทฤษฎีการแกว่งและการเปรียบเทียบของสตวร์ม

ฟังก์ชันเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะตัวที่ n มีศูนย์ภายใน n ตำแหน่งพอดี และทฤษฎีการเปรียบเทียบของสตวร์มเชื่อมโยงศูนย์ของผลเฉลยของสมการที่เกี่ยวข้อง

การกระจายฟังก์ชันเฉพาะ

เนื่องจากฟังก์ชันเฉพาะประกอบกันเป็นระบบเชิงตั้งฉากที่สมบูรณ์ ฟังก์ชันที่เหมาะสมสามารถขยายเป็นอนุกรมในรูปของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งเป็นการขยายอนุกรมฟูเรียร์และเป็นพื้นฐานของการแยกตัวแปรสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

Clinical relevance

ปัญหาสตวร์ม-ลียูวิลล์เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีการใช้วิธีการแยกตัวแปรกับสมการความร้อน คลื่น และชโรดิงเงอร์ และฟังก์ชันเฉพาะของปัญหาเหล่านี้คือโหมดการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติและสถานะควอนตัม นอกจากนี้ ทฤษฎียังสร้างพหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ประยุกต์

History

สตวร์มและลียูวิลล์ได้พัฒนาทฤษฎีนี้ในชุดบทความประมาณปี ค.ศ. 1836-1837 โดยได้สร้างพฤติกรรมเชิงคุณภาพของค่าเฉพาะและฟังก์ชันเฉพาะสำหรับปัญหาค่าขอบเขต ไวล์ได้ขยายทฤษฎีนี้ไปยังปัญหาเอกฐานในช่วงต้นศตวรรษที่ยี่สิบ โดยเชื่อมโยงกับทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

Key figures

• Jacques Charles Francois Sturm
• Joseph Liouville
• Hermann Weyl
• David Hilbert

Seminal works

• zettl2010
• courant1953

Frequently asked questions

ทฤษฎีสตวร์ม-ลียูวิลล์ขยายอนุกรมฟูเรียร์ได้อย่างไร?

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของอนุกรมฟูเรียร์คือฟังก์ชันเฉพาะของปัญหาสตวร์ม-ลียูวิลล์ที่ง่ายที่สุดบนช่วงหนึ่ง สัมประสิทธิ์และฟังก์ชันน้ำหนักที่ซับซ้อนขึ้นจะสร้างตระกูลเชิงตั้งฉากที่สมบูรณ์อื่นๆ เช่น ฟังก์ชันเลอฌ็องด์ร ฟังก์ชันแอร์มิต และฟังก์ชันเบสเซล พร้อมกับการกระจายของฟังก์ชันเหล่านั้น

เหตุใดค่าเฉพาะจึงรับประกันว่าเป็นจำนวนจริง?

เมื่อเขียนในรูปแบบสมมาตรในตัวพร้อมเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ตัวดำเนินการสตวร์ม-ลียูวิลล์จะสมมาตรเทียบกับผลคูณภายในแบบถ่วงน้ำหนัก ตัวดำเนินการสมมาตรมีค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงและฟังก์ชันเฉพาะที่ตั้งฉากกัน เช่นเดียวกับเมทริกซ์สมมาตร