อนุกรมฟูเรียร์
อนุกรมฟูเรียร์เป็นการขยายฟังก์ชันเป็นคาบในรูปผลรวมของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ โดยแยกฟังก์ชันออกเป็นความถี่พื้นฐาน และตั้งคำถามสำคัญว่าอนุกรมนี้สามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ได้เมื่อใด
Definition
อนุกรมฟูเรียร์คือการแสดงฟังก์ชันเป็นคาบในรูปผลรวมอนันต์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ หรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ซึ่งสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยการอินทิเกรตฟังก์ชันเทียบกับการแกว่งพื้นฐานเหล่านั้น
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบ ผลรวมย่อยและเคอร์เนลดีริชเลต์ เกณฑ์การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดและแบบเอกรูป ปรากฏการณ์กิบส์ที่จุดกระโดด การลู่เข้าในความหมายค่าเฉลี่ยและเอกลักษณ์ปาร์เซวาล วิธีการหาผลรวม เช่น ค่าเฉลี่ยเซซาโรและอาเบลพร้อมเคอร์เนลเฟเยอร์ และความสมบูรณ์ของระบบตรีโกณมิติในฟังก์ชันที่อินทิเกรตกำลังสองได้
Core questions
- สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบคำนวณได้อย่างไร?
- อนุกรมฟูเรียร์ลู่กลับไปยังฟังก์ชันเมื่อใด และในความหมายใด?
- เหตุใดวิธีการหาผลรวมจึงช่วยฟื้นฟูการลู่เข้าในกรณีที่ผลรวมย่อยล้มเหลว?
- เหตุใดระบบตรีโกณมิติจึงเป็นฐานเชิงตั้งฉากปรกติที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันที่อินทิเกรตกำลังสองได้?
Key theories
- การลู่เข้าแบบค่าเฉลี่ยกำลังสองและเอกลักษณ์ปาร์เซวาล
- อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบที่อินทิเกรตกำลังสองได้จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันนั้นในความหมายค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมของสัมประสิทธิ์กำลังสองจะเท่ากับนอร์มกำลังสองของฟังก์ชัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าระบบตรีโกณมิติเป็นฐานเชิงตั้งฉากปรกติที่สมบูรณ์
- ทฤษฎีบทของเฟเยอร์
- ค่าเฉลี่ยเซซาโรของผลรวมย่อยของอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบต่อเนื่องจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันนั้นอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเป็นการฟื้นฟูการลู่เข้าผ่านการหาค่าเฉลี่ย แม้ว่าผลรวมย่อยเองจะไม่ลู่เข้าก็ตาม
Clinical relevance
อนุกรมฟูเรียร์เป็นรากฐานของการวิเคราะห์สเปกตรัมของสัญญาณเป็นคาบ ซึ่งใช้ในด้านเสียง การวิเคราะห์การสั่นสะเทือน วิศวกรรมไฟฟ้า และการแก้สมการความร้อนและสมการคลื่นโดยการแยกตัวแปร โดยการแยกสถานะออกเป็นโหมดความถี่ทำให้สมการสามารถแก้ไขได้
History
ฟูเรียร์ได้นำเสนอการกระจายตรีโกณมิติในทฤษฎีความร้อนของเขาในปี ค.ศ. 1822 โดยอ้างถึงความทั่วไปที่กระตุ้นให้เกิดการตรวจสอบอย่างละเอียดเป็นเวลาหลายทศวรรษ ดีริชเลต์ได้ให้ทฤษฎีบทการลู่เข้าที่เข้มงวดเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1829 และผลลัพธ์การหาผลรวมของเฟเยอร์ในปี ค.ศ. 1900 ได้ชี้แจงการลู่เข้าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง
Key figures
- Joseph Fourier
- Lejeune Dirichlet
- Lipot Fejer
Related topics
Seminal works
- stein2003fourier
- katznelson2004
Frequently asked questions
- อนุกรมฟูเรียร์ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันของมันเสมอไปหรือไม่?
- โดยทั่วไปแล้วไม่ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเสมอไป ฟังก์ชันต่อเนื่องอาจมีอนุกรมฟูเรียร์ที่ลู่ออก ณ บางจุด แต่อนุกรมจะลู่เข้าในความหมายค่าเฉลี่ยกำลังสองเสมอสำหรับฟังก์ชันที่อินทิเกรตกำลังสองได้ และวิธีการหาผลรวมจะช่วยฟื้นฟูการลู่เข้าแบบเอกรูปสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง
- ปรากฏการณ์กิบส์คืออะไร?
- ใกล้จุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด ผลรวมย่อยของอนุกรมฟูเรียร์จะล้ำหน้าฟังก์ชันไปในสัดส่วนคงที่ซึ่งไม่หายไปเมื่อมีการเพิ่มพจน์มากขึ้น ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์ของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดที่จุดกระโดด