เมตริกแบบรีมันน์และจีโอเดสิก

เมตริกแบบรีมันน์ใช้วัดความยาวและมุมบนแมนิโฟลด์ และจีโอเดสิกคือเส้นโค้งที่ลดความยาวเฉพาะที่ให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งเป็นเส้นตรงในปริภูมิโค้ง

Definition

เมตริกแบบรีมันน์กำหนดผลคูณภายในที่เป็นบวกแน่นอนให้กับปริภูมิสัมผัสแต่ละจุด ซึ่งขึ้นอยู่กับจุดนั้นอย่างราบรื่น ส่วนจีโอเดสิกคือเส้นโค้งที่ลดความยาวเฉพาะที่ให้เหลือน้อยที่สุด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเส้นโค้งที่มีความเร็วขนานไปกับตัวเอง

Scope

หัวข้อนี้จะนิยามเมตริกแบบรีมันน์ว่าเป็นผลคูณภายในที่แปรผันอย่างราบรื่นบนปริภูมิสัมผัส แนวคิดเรื่องความยาวส่วนโค้ง มุม และปริมาตรแบบรีมันน์ที่เกิดขึ้น และฟังก์ชันระยะทางที่ทำให้แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันเป็นปริภูมิเมตริก นอกจากนี้ยังพัฒนาจีโอเดสิกทั้งในฐานะเส้นโค้งที่ลดความยาวให้เหลือน้อยที่สุดและในฐานะผลเฉลยของสมการจีโอเดสิก แผนที่เอ็กซ์โปเนนเชียลและพิกัดปกติ ความสมบูรณ์ของจีโอเดสิก และทฤษฎีบทฮอพฟ์-รีโนว์ที่เชื่อมโยงความสมบูรณ์กับการมีอยู่ของจีโอเดสิกที่ลดค่าได้ รวมถึงไอโซเมตรีและลักษณะเฉพาะเชิงแปรผันของจีโอเดสิก

Core questions

• เมตริกเปลี่ยนแมนิโฟลด์เรียบให้เป็นปริภูมิเมตริกที่มีระยะทางที่กำหนดไว้อย่างดีได้อย่างไร?
• จีโอเดสิกเป็นเส้นโค้งที่ตรงที่สุดและสั้นที่สุดในท้องถิ่นในแง่ใด?
• แผนที่เอ็กซ์โปเนนเชียลให้พิกัดบัญญัติรอบจุดได้อย่างไร?
• ความสมบูรณ์ของจีโอเดสิกรับประกันจีโอเดสิกที่ลดค่าได้ระหว่างจุดสองจุดใดๆ ได้เมื่อใด (ฮอพฟ์-รีโนว์)?

Key concepts

• เมตริกแบบรีมันน์ ความยาวส่วนโค้ง และปริมาตร
• ฟังก์ชันระยะทางแบบรีมันน์และไอโซเมตรี
• สมการจีโอเดสิกและการลดความยาว
• แผนที่เอ็กซ์โปเนนเชียลและพิกัดปกติ
• ความสมบูรณ์ของจีโอเดสิกและทฤษฎีบทฮอพฟ์-รีโนว์

Clinical relevance

จีโอเดสิกจำลองการเคลื่อนที่ของอนุภาคอิสระและเส้นทางแสงในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เส้นทางที่เหมาะสมที่สุดในปริภูมิรูปร่างและหุ่นยนต์ และเส้นทางที่สั้นที่สุดบนพื้นผิวโค้ง โครงสร้างเมตริกทำให้แมนิโฟลด์เป็นวัตถุทางเรขาคณิตและปริภูมิเมตริกที่แท้จริง

History

รีมันน์ได้นำเสนอเมตริกในปี ค.ศ. 1854 การศึกษาเชิงแปรผันของจีโอเดสิกพัฒนาขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 และทฤษฎีบทฮอพฟ์-รีโนว์ (ค.ศ. 1931) ได้ชี้แจงความเท่าเทียมกันของความสมบูรณ์ของเมตริกและความสมบูรณ์ของจีโอเดสิก ซึ่งทำให้ภาพรวมพื้นฐานที่สอนกันในปัจจุบันสมบูรณ์

Key figures

• Bernhard Riemann
• Heinz Hopf
• Willi Rinow

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

จีโอเดสิกเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดเสมอไปหรือไม่?

เฉพาะในท้องถิ่นเท่านั้น จีโอเดสิกจะลดความยาวระหว่างจุดที่อยู่ใกล้กันพอสมควร แต่ในระดับสากล จีโอเดสิกระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ห่างกันอาจไม่ใช่เส้นทางที่สั้นที่สุด ตัวอย่างเช่น ส่วนโค้งวงกลมใหญ่ที่อ้อมโลกไปในทางที่ยาวกว่า

ทฤษฎีบทฮอพฟ์-รีโนว์รับประกันอะไรบ้าง?

บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่เชื่อมต่อกัน ความสมบูรณ์ของจีโอเดสิก ความสมบูรณ์ของเมตริก และคุณสมบัติที่ว่าเซตปิดที่มีขอบเขตเป็นเซตกระชับ ล้วนเทียบเท่ากัน และคุณสมบัติใดๆ เหล่านี้รับประกันว่าจุดสองจุดใดๆ จะเชื่อมต่อกันด้วยจีโอเดสิกที่ลดค่าได้