ปริภูมิสัมผัสและฟิลด์เวกเตอร์

ปริภูมิสัมผัสเชื่อมโยงปริภูมิเวกเตอร์ของความเร็วเข้ากับแต่ละจุดของแมนิโฟลด์ และฟิลด์เวกเตอร์จะกำหนดความเร็วเช่นนั้นอย่างราบรื่นทั่วทั้งแมนิโฟลด์ ซึ่งเข้ารหัสการไหลและสมมาตรอนันต์

Definition

ปริภูมิสัมผัส ณ จุดหนึ่งของแมนิโฟลด์ราบเรียบคือปริภูมิเวกเตอร์ของเวกเตอร์ความเร็วของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้น (เทียบเท่ากับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันราบเรียบ ณ จุดนั้น); ฟิลด์เวกเตอร์คือการกำหนดเวกเตอร์สัมผัสให้กับแต่ละจุดอย่างราบรื่น กล่าวคือเป็นภาคตัดของมัดสัมผัส

Scope

หัวข้อนี้ให้นิยามปริภูมิสัมผัส — ซึ่งเทียบเท่ากันผ่านเวกเตอร์ความเร็วของเส้นโค้ง, การหาอนุพันธ์, หรือทูเพิลที่เข้ากันได้กับการเปลี่ยนพิกัด — และประกอบปริภูมิสัมผัสเข้าเป็นมัดสัมผัส นอกจากนี้ยังพัฒนาอนุพันธ์ของการส่งราบเรียบ, ฟิลด์เวกเตอร์ในฐานะภาคตัดของมัดสัมผัส, เส้นโค้งปริพันธ์และการไหลของฟิลด์เวกเตอร์, วงเล็บลีและอนุพันธ์ลี, และทฤษฎีบทฟรอเบนิอุสเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ของดิสทริบิวชัน ปริภูมิโคแทนเจนต์และวัน-ฟอร์มปรากฏเป็นโครงสร้างคู่ที่นำไปสู่ดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์ม

Core questions

• นิยามที่เทียบเท่ากันของเวกเตอร์สัมผัสคืออะไร และเหตุใดจึงสอดคล้องกัน?
• อนุพันธ์ของการส่งราบเรียบกระทำต่อปริภูมิสัมผัสอย่างไร?
• ฟิลด์เวกเตอร์สร้างการไหลได้อย่างไร และวงเล็บลีวัดอะไรเกี่ยวกับการไหลสองแบบ?
• เมื่อใดที่ชุดของการแจกแจงสัมผัสสามารถรวมเข้าเป็นสับแมนิโฟลด์ได้ (ทฤษฎีบทฟรอเบนิอุส)?

Key concepts

• ปริภูมิสัมผัสและเวกเตอร์สัมผัสในฐานะการหาอนุพันธ์
• มัดสัมผัสและอนุพันธ์ของการส่งราบเรียบ
• ฟิลด์เวกเตอร์, เส้นโค้งปริพันธ์, และการไหล
• วงเล็บลีและอนุพันธ์ลี
• ดิสทริบิวชันและทฤษฎีบทการหาปริพันธ์ของฟรอเบนิอุส

Clinical relevance

เวกเตอร์สัมผัสและฟิลด์เวกเตอร์ทำให้แนวคิดเรื่องความเร็ว แรง และสมมาตรอนันต์เป็นทางการ; เป็นพื้นฐานสำหรับระบบพลวัตบนแมนิโฟลด์, พีชคณิตลีของกรุ๊ปลี, และการสร้างจีโอเดสิกและความโค้งในเรขาคณิตรีมันน์

History

นิยามภายในที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของปริภูมิสัมผัสในฐานะการหาอนุพันธ์เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 โดยต่อยอดจากทฤษฎีของลีเกี่ยวกับกลุ่มการแปลงต่อเนื่องและแคลคูลัสของดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์มของคาร์ตัน ทำให้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มีรูปแบบฟังก์ชันนัลที่ทันสมัย

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

เหตุใดจึงนิยามเวกเตอร์สัมผัสในฐานะการหาอนุพันธ์?

นิยามการหาอนุพันธ์เป็นแบบภายในและไม่ขึ้นกับพิกัด: เวกเตอร์สัมผัสคือตัวดำเนินการเชิงเส้นบนฟังก์ชันราบเรียบที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ ซึ่งหลีกเลี่ยงการอ้างอิงถึงการฝังตัวใดๆ และใช้ได้กับแมนิโฟลด์นามธรรม

วงเล็บลีของฟิลด์เวกเตอร์สองตัววัดอะไร?

มันวัดความล้มเหลวของการไหลของฟิลด์เวกเตอร์ทั้งสองที่จะสลับที่กันได้; การที่วงเล็บเป็นศูนย์หมายความว่าการไหลสามารถทำตามลำดับใดก็ได้เพื่อไปยังจุดเดียวกัน