เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ศึกษาปริภูมิเรียบ — เส้นโค้ง, พื้นผิว, และแมนิโฟลด์ — โดยใช้เครื่องมือของแคลคูลัส, โดยพิจารณาความโค้ง, การสัมผัส, และการอินทิเกรตบนปริภูมิที่ดูเหมือนปริภูมิแบบยุคลิดในระดับท้องถิ่น แต่ในระดับสากลอาจมีความโค้ง

Definition

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือการศึกษาแมนิโฟลด์เรียบและโครงสร้างทางเรขาคณิตบนแมนิโฟลด์เหล่านั้น — ปริภูมิสัมผัส, ฟิลด์เวกเตอร์, รูปแบบเชิงอนุพันธ์, และความโค้ง — โดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์

Scope

สาขาวิชานี้ครอบคลุมประเภทเรียบ (หาอนุพันธ์ได้): แมนิโฟลด์และการส่งเรียบ, ปริภูมิสัมผัสและปริภูมิโคแทนเจนต์, ฟิลด์เวกเตอร์และการไหล, รูปแบบเชิงอนุพันธ์และการอินทิเกรตผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์, และเรขาคณิตคลาสสิกของเส้นโค้งและพื้นผิวในปริภูมิ รวมถึงรูปแบบพื้นฐานที่หนึ่งและสองและความโค้งเกาส์เซียน โดยให้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ที่เรขาคณิตแบบรีมันน์นำมาใช้กับเมตริก และไม่รวมตัวแปรคงที่เชิงทอพอโลยีบริสุทธิ์ของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและวาไรอิตีเชิงพีชคณิตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

Sub-topics

• Curves and Surfaces
• Differentiable Manifolds
• Differential Forms
• Tangent Spaces and Vector Fields

Core questions

• แคลคูลัสถูกนิยามภายในบนปริภูมิที่เป็นแบบยุคลิดเฉพาะที่ได้อย่างไร?
• ความโค้งหมายถึงอะไรสำหรับเส้นโค้ง, พื้นผิว, และแมนิโฟลด์ทั่วไป?
• รูปแบบเชิงอนุพันธ์รวมเกรเดียนต์, เคิร์ล, ไดเวอร์เจนซ์, และทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์ได้อย่างไร?
• ปริมาณทางเรขาคณิตใดที่เป็นคุณสมบัติภายในของพื้นผิว และปริมาณใดที่ขึ้นอยู่กับการฝังตัวของพื้นผิวนั้นในปริภูมิ?

Key concepts

• แมนิโฟลด์เรียบและแอตลาส
• ปริภูมิสัมผัสและปริภูมิโคแทนเจนต์, ฟิลด์เวกเตอร์, และการไหล
• รูปแบบเชิงอนุพันธ์, อนุพันธ์ภายนอก, และทฤษฎีบทของสโตกส์
• รูปแบบพื้นฐานที่หนึ่งและสองของพื้นผิว
• ความโค้งเกาส์เซียนและค่าเฉลี่ย

Clinical relevance

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป, ทฤษฎีเกจ, และกลศาสตร์ของไหลต่อเนื่อง, และเป็นกรอบแมนิโฟลด์เรียบที่เรขาคณิตแบบรีมันน์, การวิเคราะห์เชิงทั่วโลก, และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ถูกสร้างขึ้น

History

จากการศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวของออยเลอร์และเกาส์ — ทฤษฎีบทเอกเรเกียมของเกาส์ (Theorema Egregium) (ค.ศ. 1827) ที่แสดงให้เห็นว่าความโค้งเป็นคุณสมบัติภายใน — วิชาดังกล่าวได้รับการขยายโดยรีมันน์ไปยังมิติใดๆ และถูกปรับปรุงโดยคาร์ตันในภาษาของรูปแบบเชิงอนุพันธ์และกรอบเคลื่อนที่ที่กำหนดรูปแบบการศึกษาในปัจจุบัน

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Bernhard Riemann
• Élie Cartan

Seminal works

• docarmo1976
• lee2012

Frequently asked questions

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทอพอโลยีแตกต่างกันอย่างไร?

ทอพอโลยีศึกษาคุณสมบัติที่คงอยู่ภายใต้การเปลี่ยนรูปต่อเนื่อง โดยไม่สนใจความเรียบและระยะทาง; เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพิ่มโครงสร้างเรียบและมักจะมีเมตริก ทำให้สามารถวัดความโค้ง, ความยาว, และมุมได้

ทฤษฎีบทเอกเรเกียมของเกาส์ (Gauss's Theorema Egregium) คืออะไร?

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าความโค้งเกาส์เซียนของพื้นผิวเป็นคุณสมบัติภายใน — ขึ้นอยู่กับระยะทางที่วัดภายในพื้นผิวเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าพื้นผิวนั้นอยู่ในปริภูมิอย่างไร — ดังนั้นแผนที่แบนของพื้นผิวโค้งจะต้องบิดเบือนระยะทาง