ความโค้งของปริภูมิ-เวลาและจีโอเดสิก

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สสารทำให้ปริภูมิ-เวลามีความโค้ง และอนุภาคอิสระกับรังสีแสงจะเคลื่อนที่ตามแนวทางจีโอเดสิก ซึ่งเป็นเส้นทางที่ตรงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในเรขาคณิตที่มีความโค้งนั้น การโค้งงอสัมพัทธ์ของแนวทางจีโอเดสิกที่อยู่ใกล้กันคือสิ่งที่เรามองว่าเป็นแรงไทดัลจากแรงโน้มถ่วง

Definition

ความโค้งของปริภูมิ-เวลาคือการเบี่ยงเบนของเรขาคณิตปริภูมิ-เวลาจากความราบเรียบ ซึ่งวัดปริมาณได้ด้วยเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ และจีโอเดสิกคือเวิร์ลไลน์ของอนุภาคที่ตกอย่างอิสระ ซึ่งได้มาจากการเคลื่อนย้ายเวกเตอร์สัมผัสของตัวเองแบบขนานและทำให้เวลาเฉพาะมีค่าสุดขีด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงจีโอเดสิกในฐานะเวิร์ลไลน์ที่มีความยาวสุดขีดและสมการจีโอเดสิก การเคลื่อนย้ายแบบขนานและการเชื่อมต่อ เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์และการหดตัวของมัน การเบี่ยงเบนของจีโอเดสิกในฐานะการวัดผลกระทบจากแรงไทดัล และวิธีการที่ความโค้งจำลองและแก้ไขแรงดึงดูดของนิวตันในขีดจำกัดสนามอ่อน

Core questions

• การที่ปริภูมิ-เวลามีความโค้งแทนที่จะแบนราบหมายความว่าอย่างไร?
• เหตุใดวัตถุที่ตกอย่างอิสระจึงเคลื่อนที่ไปตามแนวทางจีโอเดสิก?
• การเบี่ยงเบนของจีโอเดสิกอธิบายแรงไทดัลจากแรงโน้มถ่วงได้อย่างไร?

Key concepts

• จีโอเดสิก
• การเชื่อมต่อแบบแอฟฟินและสัญลักษณ์คริสทอฟเฟล
• การเคลื่อนย้ายแบบขนาน
• เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์
• การเบี่ยงเบนของจีโอเดสิก
• แรงไทดัล

Key theories

สมการจีโอเดสิก

อนุภาคที่ตกอย่างอิสระจะเคลื่อนที่ตามแนวทางจีโอเดสิกที่ทำให้เวลาเฉพาะของมันมีค่าสุดขีด ซึ่งเป็นไปตามสมการที่สัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อเข้ารหัสสนามโน้มถ่วง ดังนั้นแรงโน้มถ่วงจึงกลายเป็นการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยในปริภูมิ-เวลาที่มีความโค้ง

ความโค้งของรีมันน์และการเบี่ยงเบนของจีโอเดสิก

เทนเซอร์ของรีมันน์วัดความล้มเหลวของการเคลื่อนย้ายแบบขนานรอบวงปิด และควบคุมว่าจีโอเดสิกที่อยู่ใกล้เคียงเร่งเข้าหาหรือออกจากกันอย่างไร ซึ่งระบุความโค้งด้วยแรงไทดัลที่สังเกตได้ของแรงโน้มถ่วง

Clinical relevance

จีโอเดสิกกำหนดวงโคจรของดาวเคราะห์และยานอวกาศในสนามโน้มถ่วงเชิงสัมพัทธภาพ เส้นทางของแสงที่ทำให้เกิดเลนส์ความโน้มถ่วง และการเคลื่อนที่ควงของวงโคจร เช่น จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวพุธ ความโค้งยังอธิบายถึงการยืดตัวจากแรงไทดัลที่เกิดขึ้นใกล้กับวัตถุที่มีความหนาแน่นสูง

History

เรขาคณิตของปริภูมิโค้งถูกสร้างขึ้นโดยเกาส์และรีมันน์ในศตวรรษที่สิบเก้า เลวี-ชีวีตาและริชชีได้พัฒนาแคลคูลัสเทนเซอร์และการเคลื่อนย้ายแบบขนานในช่วงทศวรรษ 1900 และไอน์สไตน์ได้นำเครื่องมือเหล่านี้มาใช้เพื่ออธิบายแรงโน้มถ่วงในรูปของความโค้ง โดยมีจีโอเดสิกเข้ามาแทนที่วิถีแรงของนิวตัน

Key figures

• Bernhard Riemann
• Albert Einstein
• Tullio Levi-Civita

Seminal works

• wald1984
• mtw1973

Frequently asked questions

หากจีโอเดสิกเป็นเส้นทางที่ตรงที่สุด เหตุใดวงโคจรจึงดูโค้งงอ?

วงโคจรจะตรงในแง่ของการเป็นจีโอเดสิกของปริภูมิ-เวลาสี่มิติที่มีความโค้ง การโค้งงอที่ปรากฏในปริภูมิเกิดขึ้นเนื่องจากปริภูมิ-เวลาเองมีความโค้งจากมวล ดังนั้นเวิร์ลไลน์ที่ตรงที่สุดในท้องถิ่นจึงฉายภาพออกมาเป็นเส้นทางเชิงพื้นที่ที่โค้งงอ

ความโค้งแตกต่างจากการเลือกพิกัดอย่างไร?

ผลกระทบจากพิกัดสามารถขจัดออกได้โดยการเปลี่ยนพิกัด แต่ความโค้งที่แท้จริงจะปรากฏในเทนเซอร์ของรีมันน์และการเบี่ยงเบนของจีโอเดสิกจากแรงไทดัล ซึ่งไม่สามารถแปลงออกไปได้และมีอยู่ทุกที่ที่แรงโน้มถ่วงจริงกระทำ