ริงพหุนาม

ริงพหุนามคือริงของพหุนามในตัวแปรไม่จำกัดหนึ่งตัวหรือมากกว่า โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในริงฐาน ซึ่งเป็นพีชคณิตสลับที่อิสระที่จำลองการเพิ่มตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเข้าไปในริง

Definition

เมื่อกำหนดริงสลับที่ R ริงพหุนาม R[x] ประกอบด้วยผลรวมเชิงรูปนัยจำกัดของกำลังของตัวแปรไม่จำกัด x โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ใน R พร้อมด้วยการบวกและการคูณตามปกติ การทำซ้ำจะให้ริงพหุนามในตัวแปรหลายตัว

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างริงพหุนามในตัวแปรหนึ่งตัวและหลายตัว, ขั้นตอนวิธีการหารเหนือฟิลด์, การแยกตัวประกอบและเกณฑ์การไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เช่น บทตั้งของเกาส์และเกณฑ์ของไอเซนสไตน์, และการถ่ายทอดคุณสมบัติ (การแยกตัวประกอบเฉพาะตัว, เงื่อนไขของเนอเทอร์) จากริงฐานไปยังริงพหุนาม

Core questions

• ริงพหุนามถูกสร้างขึ้นอย่างไรและมีคุณสมบัติสากลใดบ้างที่สอดคล้อง?
• พหุนามสามารถหารได้เมื่อใด และสิ่งนี้ทำให้ริงพหุนามของฟิลด์เป็นแบบยุคลิดได้อย่างไร?
• จะตรวจจับการไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้อย่างไร?
• คุณสมบัติใดบ้างของริงฐานที่ถูกถ่ายทอดไปยังริงพหุนาม?

Key theories

ขั้นตอนวิธีการหารและคุณสมบัติสากล

เหนือฟิลด์ พหุนามยอมรับการหารด้วยเศษเหลือ ทำให้ริงพหุนามในตัวแปรเดียวเป็นโดเมนแบบยุคลิด โดยทั่วไปแล้ว R[x] คือ R-พีชคณิตสลับที่อิสระบนตัวกำเนิดหนึ่งตัว ซึ่งเป็นสากลสำหรับการส่ง x ไปยังสมาชิกใดๆ ของ R-พีชคณิต

บทตั้งของเกาส์

หาก R เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว ดังนั้น R[x] ก็เป็นเช่นกัน และพหุนามปฐมภูมิที่แยกตัวประกอบได้เหนือฟิลด์ของเศษส่วนก็แยกตัวประกอบได้เหนือ R ซึ่งช่วยลดคำถามเกี่ยวกับการไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ลงสู่ฟิลด์ฐาน

เกณฑ์ของไอเซนสไตน์

พหุนามชนิดมอนิกที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่สัมประสิทธิ์นำสามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะได้ โดยที่พจน์คงที่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะนั้นไม่ได้ จะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งเป็นบททดสอบที่รวดเร็วและเพียงพอสำหรับการไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

Clinical relevance

ริงพหุนามเป็นเวทีทางพีชคณิตสำหรับการแก้สมการและสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งผลหารของริงพหุนามคือริงพิกัดของวาไรตี (varieties) ริงพหุนามมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อพีชคณิตเชิงคอมพิวเตอร์ (ฐานโกรบเนอร์), ทฤษฎีการเข้ารหัส, และการสร้างส่วนขยายฟิลด์และฟิลด์จำกัด

History

การจัดการพหุนามเชิงรูปนัยมีมาก่อนพีชคณิตนามธรรม แต่ผลงานของเกาส์เกี่ยวกับการแบ่งวงกลมและพหุนามจำนวนเต็ม และเกณฑ์การไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ของไอเซนสไตน์ได้กำหนดทฤษฎีสมัยใหม่ จากนั้นทฤษฎีฐานของฮิลเบิร์ตได้เปิดเผยว่าริงพหุนามเหนือฟิลด์มีอุดมคติที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ซึ่งเป็นรากฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Ferdinand Eisenstein
• David Hilbert
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

เหตุใดริงพหุนามเหนือฟิลด์จึงมีพฤติกรรมที่ดีมาก?

เหนือฟิลด์ ขั้นตอนวิธีการหารจะใช้ได้ ดังนั้นริงพหุนามตัวแปรเดียวจึงเป็นโดเมนแบบยุคลิด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นโดเมนอุดมคติหลักและโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว สิ่งนี้ทำให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของมันคล้ายคลึงอย่างใกล้ชิดกับจำนวนเต็ม

คุณสมบัติสากลของริงพหุนามคืออะไร?

การแมปตัวแปรไม่จำกัดไปยังสมาชิกใดๆ ของ R-พีชคณิตจะขยายไปสู่สาทิสสัณฐานริงจาก R[x] ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ความเป็นอิสระนี้เองที่ทำให้ริงพหุนามสามารถจำลองการเพิ่มตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั่วไป ซึ่งเป็นรากฐานของการประเมินค่าและการแทนค่า