ปฏิทรรศน์ทางทฤษฎีเซตและทฤษฎีประเภท

เซตของเซตทั้งหมดที่ไม่บรรจุตัวเองนั้น ทั้งบรรจุและไม่บรรจุตัวเอง — ปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์ได้โค่นล้มทฤษฎีเซตแบบสามัญและปรับเปลี่ยนรากฐานของตรรกวิทยา

Definition

ปฏิทรรศน์ทางทฤษฎีเซตคือความขัดแย้งที่สามารถอนุมานได้ในทฤษฎีเซตแบบสามัญจากหลักการความเข้าใจแบบไม่จำกัดที่ว่าทุกเงื่อนไขกำหนดเซต; ทฤษฎีประเภทจะสกัดกั้นปฏิทรรศน์เหล่านี้โดยการจัดเรียงเอนทิตีเป็นลำดับชั้นของประเภทและห้ามไม่ให้เซตเป็นสมาชิกของตัวเอง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมปฏิทรรศน์ทางตรรกวิทยาและทฤษฎีเซต และการตอบสนองเชิงรากฐานที่ปฏิทรรศน์เหล่านั้นกระตุ้นให้เกิด มีการกล่าวถึงปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์เกี่ยวกับเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง, ปฏิทรรศน์ของบูราลี-ฟอร์ติเกี่ยวกับอันดับที่ใหญ่ที่สุด, และปฏิทรรศน์ของแคนเตอร์เกี่ยวกับเซตสากล; การวินิจฉัยของรัสเซลล์ผ่านหลักการวงจรวิปริตและทฤษฎีประเภทแบบแตกแขนงที่เกิดขึ้นใน Principia Mathematica; และการตอบสนองทางเลือกของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (Zermelo-Fraenkel) ที่จำกัดหลักการความเข้าใจเพื่อหลีกเลี่ยงปฏิทรรศน์

Core questions

• สมมติฐานใดในทฤษฎีเซตแบบสามัญที่ก่อให้เกิดปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์?
• การหลีกเลี่ยงปฏิทรรศน์จำเป็นต้องมีหลักการวงจรวิปริตและการจำกัดประเภทหรือไม่?
• ทฤษฎีประเภทและทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์แตกต่างกันอย่างไรในการตอบสนอง?
• ปฏิทรรศน์เชิงตรรกะเหมือนกับปฏิทรรศน์เชิงความหมายโดยพื้นฐานหรือไม่?

Key concepts

• ความเข้าใจแบบไม่จำกัด
• ปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์
• ปฏิทรรศน์ของบูราลี-ฟอร์ติและแคนเตอร์
• หลักการวงจรวิปริต
• ทฤษฎีประเภท
• สัจพจน์การแยก

Key theories

ทฤษฎีประเภทแบบแตกแขนง

รัสเซลล์สกัดกั้นปฏิทรรศน์ด้วยหลักการวงจรวิปริตและลำดับชั้นของประเภทที่เอนทิตีสามารถถูกกำหนดได้เฉพาะเหนือเอนทิตีที่อยู่ในลำดับชั้นที่ต่ำกว่าเท่านั้น ซึ่งป้องกันการเป็นสมาชิกของตัวเองและการนิยามที่สามารถนำไปใช้กับตัวเองได้

ความเข้าใจแบบจำกัด

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (Zermelo-Fraenkel) ละทิ้งความเข้าใจแบบไม่จำกัดเพื่อการแยกและการแทนที่ เพื่อไม่ให้สามารถสร้างเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่เป็นสมาชิกของตัวเองได้ ซึ่งเป็นการสลายปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์โดยไม่ต้องมีลำดับชั้นของประเภท

History

รัสเซลล์ค้นพบปฏิทรรศน์ของเขาในปี 1901 ขณะที่กำลังศึกษาตรรกนิยมของฟเรเก ซึ่งบ่อนทำลายกฎพื้นฐาน V ของฟเรเก ทฤษฎีประเภทของรัสเซลล์ในปี 1908 และ Principia Mathematica ในปี 1910 ได้เสนอแนวทางแก้ไขหนึ่ง; การวางสัจพจน์ของเซอร์เมโลในปี 1908 ซึ่งต่อมาได้รับการขยายโดยแฟรงเคิล ได้เสนออีกแนวทางหนึ่ง และทั้งสองแนวทางเป็นรากฐานของรากฐานสมัยใหม่และทฤษฎีประเภทแบบง่ายที่ใช้ในตรรกวิทยาและวิทยาการคอมพิวเตอร์

Debates

ประเภทเทียบกับทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

ปฏิทรรศน์ควรถูกหลีกเลี่ยงได้ดีที่สุดด้วยลำดับชั้นของประเภทที่อิงตามหลักการวงจรวิปริต หรือโดยการจำกัดสัจพจน์การมีอยู่ของเซต และแต่ละแนวทางบ่งบอกอะไรเกี่ยวกับธรรมชาติของเซต, คลาส, และการนิยามแบบพยากรณ์เทียบกับแบบไม่พยากรณ์

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

ปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์คืออะไรในแง่ง่ายๆ?

พิจารณาเซต R ของเซตทั้งหมดที่ไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง ถามว่า R เป็นสมาชิกของตัวเองหรือไม่ ถ้าเป็น สมาชิกของตัวเอง ตามคำนิยามของมันเองก็ไม่ควรเป็น; ถ้าไม่เป็น สมาชิกของตัวเอง ก็มีคุณสมบัติและควรเป็น คำตอบใดคำตอบหนึ่งขัดแย้งกับอีกคำตอบหนึ่ง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของทฤษฎีเซตแบบสามัญที่ว่าคุณสมบัติใดๆ กำหนดเซตนั้นผิดพลาด