Вычислительная квантовая механика

Вычислительная квантовая механика преобразует уравнение Шрёдингера в числовую форму, позволяя решать задачи по определению уровней энергии, волновых функций и квантовой динамики на компьютере в тех случаях, когда аналитические решения ограничиваются атомом водорода.

Definition

Вычислительная квантовая механика — это использование численных методов для решения уравнения Шрёдингера и связанных с ним квантовых задач, позволяющее получать энергии, волновые функции и временную эволюцию для систем, не имеющих аналитического решения в замкнутой форме.

Scope

Эта область охватывает численное решение квантовых задач: связанные состояния и рассеяние из стационарного уравнения Шрёдингера, квантовую динамику в реальном времени из нестационарного уравнения, методы электронной структуры, описывающие многоэлектронные системы, и точную диагонализацию конечных квантовых решеток. Она охватывает одночастичные и многочастичные квантовые вычисления.

Sub-topics

• Electronic Structure and Density Functional Theory
• Exact Diagonalization Methods
• Time-Dependent Quantum Dynamics
• Time-Independent Schrodinger Solutions

Core questions

• Как вычисляются энергии связанных состояний и волновые функции для произвольного потенциала?
• Как стабильно и унитарно распространяется нестационарное уравнение Шрёдингера?
• Как описываются многоэлектронные системы, когда полная волновая функция не поддается прямому расчету?
• Как диагонализуются конечные квантовые решеточные модели для получения их спектров?

Key theories

Дискретизированное уравнение Шрёдингера

Представление волновой функции на сетке или в базисе превращает уравнение Шрёдингера в задачу на собственные значения матрицы, чьи собственные значения и собственные векторы являются уровнями энергии и стационарными состояниями.

Унитарное временное распространение

Квантовая эволюция в реальном времени продвигается с помощью схем, сохраняющих норму, таких как методы Кранка-Николсона и расщепленного оператора, которые поддерживают унитарность и сохранение вероятности точной динамики.

Самосогласованная среднеполевая электронная структура

Многоэлектронные задачи сводятся к связанным одночастичным уравнениям, решаемым самосогласованно, как в формулировке Кона-Шэма теории функционала плотности, что делает возможным вычисление электронной структуры молекул и твердых тел.

Clinical relevance

Эти методы предсказывают атомные и молекулярные спектры, химические связи и энергетику реакций, электронные зонные структуры материалов, а также квантовую динамику, лежащую в основе спектроскопии и квантового управления, что является основой квантовой химии и физики конденсированного состояния.

History

Численная квантовая механика началась с ручного и раннего компьютерного интегрирования уравнения Шрёдингера для атомов; метод Хартри-Фока и, начиная с 1960-х годов, теория функционала плотности Кона-Шэма сделали многоэлектронные системы поддающимися расчету, в то время как растущая вычислительная мощность расширила возможности точной диагонализации и динамики в реальном времени.

Key figures

• Walter Kohn
• Lu Jeu Sham
• Jos Thijssen

Seminal works

• kohnsham1965
• thijssen2007

Frequently asked questions

Почему большинство квантовых задач нельзя решить на бумаге?

Точные аналитические решения уравнения Шрёдингера существуют только для небольшого числа идеализированных потенциалов. Реалистичные атомы, молекулы и материалы включают множество взаимодействующих частиц или сложные потенциалы, поэтому их энергии и волновые функции должны быть рассчитаны численно.

Что делает многоэлектронную квантовую механику такой сложной?

Полная волновая функция зависит от координат каждого электрона одновременно, поэтому ее размер экспоненциально растет с числом частиц. Методы, такие как теория функционала плотности и квантовый Монте-Карло, позволяют избежать прямого хранения, работая с плотностью или используя стохастическую выборку.