Бра-кет-нотация Дирака

Бра-кет-нотация Дирака записывает вектор состояния как кет, а его дуал — как бра, так что скалярное произведение становится бракетом, а внешнее произведение — оператором, что придает квантовой механике компактную, не зависящую от базиса алгебру.

Definition

Бра-кет-нотация — это символическая система Дирака, в которой квантовое состояние обозначается кетом, его сопряженный дуал — бра, их скалярное произведение — бракетом, а операторы — внешними произведениями, что обеспечивает унифицированную нотацию для векторов, дуальных векторов и линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Scope

Тема охватывает кеты как векторы состояния и бра как элементы дуального пространства, скалярное произведение как бра-кет-скобку, внешние произведения как операторы и проекторы, соотношение полноты или разложения единицы, действие операторов и их матричные элементы, а также переход между абстрактными векторами и их представлениями в координатном или импульсном пространстве.

Core questions

• Как кеты и бра представляют состояния и их дуалы?
• Как записываются скалярные произведения, внешние произведения и матричные элементы в этой нотации?
• Что такое соотношение полноты и почему оно является основным инструментом вычислений?
• Как осуществляется перевод между абстрактными бра-кет-выражениями и явными волновыми функциями?

Key concepts

• кет-вектор
• бра-вектор
• скобка скалярного произведения
• оператор внешнего произведения
• соотношение полноты
• матричный элемент

Key theories

Кеты, бра и дуальное пространство

Каждый кет в гильбертовом пространстве соответствует бра в дуальном пространстве через скалярное произведение; скобки дают комплексные амплитуды, в то время как внешнее произведение кета с бра строит оператор, причем проектор на состояние является ярким примером.

Разложение единицы

Суммирование или интегрирование проекторов на полный ортонормированный базис дает единичный оператор, и вставка этого разложения между символами преобразует абстрактные выражения в суммы по компонентам или интегралы по непрерывному представлению.

Clinical relevance

Бра-кет-нотация является универсальным сокращением в квантовой физике и квантовых вычислениях: амплитуды, вероятности переходов, ожидаемые значения и операции гейтов записываются и манипулируются как скобки и внешние произведения, что делает ее практическим языком как для описания квантовых систем «карандашом и бумагой», так и для программного обеспечения.

History

Дирак ввел бра-кет-нотацию в 1939 году, преобразовав свою более раннюю теорию преобразований в единый элегантный формализм; она быстро стала стандартной нотацией квантовой механики и позднее была полностью принята в квантовой информационной науке.

Key figures

• Paul Dirac
• John von Neumann
• Pascual Jordan

Seminal works

• dirac1981

Frequently asked questions

В чем разница между бра и кетом?

Кет обозначает вектор состояния в гильбертовом пространстве, тогда как соответствующий бра является его сопряженно-транспонированным партнером в дуальном пространстве; сопряжение бра с кетом образует скалярное произведение, которое дает комплексное число, амплитуду.

Как бра-кет-нотация связана с волновыми функциями?

Волновая функция является компонентой абстрактного кета в конкретном базисе, полученной как скобка собственного бра положения или импульса с кетом состояния, поэтому бра-кет-нотация обобщает и унифицирует различные представления волновых функций.