Наблюдаемые величины и квантовое измерение
В квантовой механике каждая измеримая величина представляется эрмитовым оператором, собственные значения которого являются возможными результатами; измерение возвращает одно собственное значение случайным образом, взвешенное по правилу Борна, и оставляет систему в соответствующем собственном состоянии.
Definition
Наблюдаемая величина — это самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве системы, собственные значения которого являются возможными результатами измерения; измерение проецирует состояние на собственное подпространство, возвращая соответствующее собственное значение с вероятностью, заданной правилом Борна.
Scope
Тема охватывает эрмитовы и самосопряженные операторы и их реальные спектры, уравнение на собственные значения и спектральное разложение, средние значения и их временную зависимость, коммутирующие наблюдаемые и полные наборы совместимых наблюдаемых, принцип неопределенности для некоммутирующих операторов и обобщенные измерения, описываемые положительно-операторными мерами.
Core questions
- Почему наблюдаемые должны быть представлены эрмитовыми операторами?
- Как вычисляются среднее значение и разброс повторяющихся измерений из состояния?
- Когда две наблюдаемые могут быть измерены одновременно с произвольной точностью?
- Что говорит принцип неопределенности о несовместимых наблюдаемых?
Key concepts
- Эрмитов оператор
- собственное значение и собственное состояние
- среднее значение
- коммутирующие наблюдаемые
- полный набор совместимых наблюдаемых
- неопределенность Гейзенберга
Key theories
- Спектральная теорема для наблюдаемых
- Самосопряженный оператор имеет действительные собственные значения и ортонормированный собственный базис, поэтому любая наблюдаемая может быть разложена в сумму или интеграл своих собственных значений, умноженных на проекторы на соответствующие собственные подпространства, что в точности соответствует структуре, используемой при измерении.
- Принцип неопределенности
- Для двух наблюдаемых произведение стандартных отклонений их измерений в любом состоянии ограничено снизу половиной модуля среднего значения их коммутатора, поэтому некоммутирующие величины, такие как положение и импульс, не могут быть одновременно точно определены.
Clinical relevance
Операторная картина измерения лежит в основе спектроскопии, где измеряемые энергии являются собственными значениями операторов, а также квантовой метрологии и томографии, где средние значения и наборы совместимых наблюдаемых определяют, сколько информации о состоянии может быть извлечено; принцип неопределенности устанавливает фундаментальные ограничения на точность в сенсорике и микроскопии.
History
Гейзенберг представил свое соотношение неопределенностей в 1927 году, и в том же году сформировался операторный формализм; трактат фон Неймана 1932 года придал измерениям и самосопряженным операторам строгую основу, а более поздние работы обобщили проективные измерения до положительно-операторных мер в квантовой информации.
Debates
- Интерпретация принципа неопределенности
- Вопрос о том, отражает ли принцип неопределенности неизбежное возмущение измерительным прибором или внутреннее свойство квантовых состояний, не зависящее от измерения, обсуждается со времен Гейзенберга; современные соотношения возмущения-измерения различают эти два понятия.
Key figures
- Werner Heisenberg
- John von Neumann
- Paul Dirac
- Eugene Wigner
Related topics
Seminal works
- vonneumann1955
- sakurai2017
Frequently asked questions
- Почему наблюдаемые должны быть эрмитовыми?
- Эрмитовы операторы имеют действительные собственные значения, что соответствует требованию, чтобы результаты измерений были действительными числами, и они обладают полным ортонормированным собственным базисом, который позволяет правилу Борна назначать согласованный набор вероятностей исходов.
- Могут ли любые две наблюдаемые быть измерены одновременно?
- Только если их операторы коммутируют; коммутирующие наблюдаемые имеют общий собственный базис и могут быть одновременно приписаны определенные значения, тогда как некоммутирующие наблюдаемые подчиняются соотношению неопределенности, которое запрещает одновременные точные значения.