Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения и уничтожения добавляют или удаляют частицу в данном моде многочастичной системы; подчиняясь коммутационным соотношениям для бозонов и антикоммутационным соотношениям для фермионов, они являются основными строительными блоками вторичного квантования.

Definition

Операторы рождения и уничтожения — это операторы, которые соответственно добавляют или удаляют одну частицу в указанном одночастичном моде пространства Фока, удовлетворяя коммутационным соотношениям для бозонов и антикоммутационным соотношениям для фермионов, из которых строятся все многочастичные наблюдаемые.

Scope

Тема охватывает определение операторов рождения и уничтожения в пространстве Фока, бозонные коммутационные соотношения и фермионные антикоммутационные соотношения, которые обеспечивают правильную статистику, оператор числа, построенный из них, построение любого состояния Фока из вакуума, выражение одно- и двухчастичных операторов и гамильтонианов во вторично-квантованной форме, а также полевые операторы как их обобщение на непрерывные моды.

Core questions

• Как операторы рождения и уничтожения действуют на состояния Фока?
• Почему бозоны требуют коммутационных соотношений, а фермионы — антикоммутационных?
• Как физические наблюдаемые и гамильтонианы выражаются с помощью этих операторов?
• Как полевые операторы обобщают их на непрерывные моды?

Key concepts

• оператор рождения
• оператор уничтожения
• коммутационные соотношения
• антикоммутационные соотношения
• оператор числа частиц
• полевые операторы

Key theories

Алгебра операторов рождения и уничтожения

Оператор рождения увеличивает заполнение моды, а оператор уничтожения уменьшает его; бозонные операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям, которые допускают неограниченное заполнение, в то время как фермионные операторы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям, которые обеспечивают принцип исключения, обращаясь в ноль при возведении в квадрат.

Вторично-квантованные операторы и поля

Одночастичные и двухчастичные наблюдаемые, а также полный гамильтониан, записываются как суммы операторов рождения и уничтожения, взвешенных матричными элементами, а их объединение в полевые операторы приводит к непрерывной формулировке, лежащей в основе квантовой теории поля.

Clinical relevance

Операторы рождения и уничтожения являются повседневными инструментами современной квантовой физики: они описывают фотоны в квантовой оптике, фононы и электронные возбуждения в конденсированном состоянии, а также рождение частиц в квантовой теории поля, и они делают многочастичные гамильтонианы достаточно компактными для анализа и вычислений.

History

Дирак ввел операторы рождения и уничтожения при квантовании электромагнитного поля в 1927 году, а Иордан и Вигнер разработали антикоммутирующие операторы для фермионов в 1928 году, установив формализм вторичного квантования, который стал языком квантовой теории поля.

Key figures

• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner
• Vladimir Fock

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

Как операторы рождения и уничтожения связаны с гармоническим осциллятором?

Это те же алгебраические лестничные операторы, которые переходят между энергетическими уровнями осциллятора, переосмысленные как добавление или удаление квантов возбуждения; квантованное поле по существу представляет собой набор осцилляторов, по одному на каждую моду, с этими операторами, создающими и уничтожающими его частицы.

Почему фермионные операторы должны антикоммутировать?

Антикоммутация приводит к тому, что квадрат оператора рождения обращается в ноль, поэтому ни одна мода не может содержать две одинаковые фермионы, автоматически обеспечивая принцип исключения Паули и антисимметрию фермионных состояний без какой-либо явной антисимметризации.