Distribuição de Wishart

A distribuição de Wishart é a generalização multivariada da distribuição qui-quadrado, descrevendo o comportamento amostral de matrizes de covariância a partir de dados normais multivariados.

Definition

A distribuição de Wishart é a distribuição de probabilidade da matriz de somas de quadrados e produtos cruzados formada a partir de uma amostra de vetores normais multivariados independentes com média zero, parametrizada por uma matriz de escala e graus de liberdade.

Scope

Este tópico aborda a definição da distribuição de Wishart como a distribuição de uma soma de produtos externos de vetores normais independentes, seus graus de liberdade e matriz de escala, seu papel como a distribuição amostral da matriz de covariância amostral, a distribuição inversa de Wishart como uma priori conjugada para covariância, e seu uso na derivação de estatísticas de teste multivariadas.

Core questions

• Qual é a distribuição amostral de uma matriz de covariância amostral?
• Como a matriz de escala e os graus de liberdade parametrizam a Wishart?
• Como a Wishart generaliza a distribuição qui-quadrado?
• Onde surge a distribuição inversa de Wishart?

Key theories

Distribuição amostral da covariância

Para uma amostra de uma população normal multivariada, a matriz de somas de quadrados e produtos cruzados segue uma distribuição de Wishart, generalizando o resultado de que a variância amostral escalonada de dados normais é qui-quadrado.

Conjugação da inversa de Wishart

A distribuição inversa de Wishart é a priori conjugada para a matriz de covariância de uma verossimilhança normal multivariada, tornando-a central para a análise multivariada Bayesiana.

Clinical relevance

A distribuição de Wishart sustenta as distribuições nulas das estatísticas de teste multivariadas clássicas e fornece a priori conjugada usada na estimação Bayesiana de matrizes de covariância.

History

John Wishart derivou a distribuição da matriz de covariância amostral a partir de dados normais multivariados em 1928, fornecendo a teoria de amostragem necessária para inferência multivariada e dando o nome à distribuição.

Key figures

• John Wishart
• T. W. Anderson

Seminal works

• anderson2003
• muirhead1982
• mardia1979

Frequently asked questions

Como a Wishart está relacionada à distribuição qui-quadrado?

Em uma dimensão, a Wishart se reduz a uma distribuição qui-quadrado escalonada; a Wishart estende isso para a distribuição conjunta de variâncias e covariâncias em várias dimensões.

Para que é usada a inversa de Wishart?

Ela serve como a priori conjugada para uma matriz de covariância em modelos multivariados Bayesianos, produzindo atualizações posteriores tratáveis para a covariância.