Risco e Admissibilidade

A função de risco registra a perda esperada de uma regra em cada valor de parâmetro; a admissibilidade questiona se alguma outra regra tem um desempenho pelo menos tão bom em todos os lugares e melhor em algum lugar.

Definition

A função de risco de uma regra de decisão é a perda esperada em função do parâmetro; uma regra é inadmissível se alguma outra regra tiver risco não maior para todos os valores de parâmetro e estritamente menor para pelo menos um, e admissível se nenhuma regra desse tipo existir.

Scope

Este tópico abrange funções de perda e a função de risco, a ordenação parcial de regras por dominância de risco, as definições de regras admissíveis e inadmissíveis, a inadmissibilidade da média amostral em três ou mais dimensões como exemplo central, métodos para provar a admissibilidade através de argumentos de Bayes e Bayes limitante e a identidade de Stein, e a relação entre admissibilidade e não-viés.

Core questions

• Como a função de risco resume o desempenho de uma regra no espaço de parâmetros?
• O que significa para uma regra dominar outra, e, portanto, para uma regra ser inadmissível?
• Por que a média amostral é inadmissível em três ou mais dimensões sob perda quadrática?
• Como os argumentos de Bayes e Bayes limitante são usados para provar a admissibilidade?

Key theories

Dominância de risco e admissibilidade

Uma regra é inadmissível quando outra regra tem risco uniformemente não maior e em algum lugar estritamente menor; regras admissíveis são aquelas que não podem ser uniformemente melhoradas, o requisito mínimo de otimalidade.

Inadmissibilidade de Stein

Sob perda quadrática, o estimador usual de uma média normal multivariada é inadmissível em três ou mais dimensões, dominado por estimadores de encolhimento (shrinkage), um resultado provado usando a identidade de Stein.

Clinical relevance

Reconhecer que um estimador familiar pode ser inadmissível justifica o uso rotineiro de encolhimento (shrinkage) e regularização em predição de alta dimensão, onde puxar as estimativas para um centro comum comprovadamente diminui o risco total em comparação com o tratamento de cada coordenada separadamente.

History

Wald introduziu risco e admissibilidade na década de 1940. A prova de Stein de 1956 de que o estimador da média normal multivariada é inadmissível em três ou mais dimensões derrubou a intuição e, com o estimador de James-Stein de 1961, tornou a admissibilidade uma preocupação central.

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

Se uma regra é admissível, é a melhor regra?

Não. A admissibilidade apenas exclui ser uniformemente superada; muitas regras admissíveis são medíocres e uma boa regra pode ser inadmissível, então a admissibilidade é uma condição necessária, mas longe de ser suficiente para a otimalidade.

Por que a dimensão três importa para o resultado de Stein?

A inadmissibilidade da média amostral sob perda quadrática é válida em três ou mais dimensões, mas não em uma ou duas; abaixo de três, o encolhimento (shrinkage) não pode melhorar uniformemente a média amostral.