Coordenadas Generalizadas e Restrições

Coordenadas generalizadas são quaisquer variáveis independentes que especificam a configuração de um sistema, escolhidas para absorver restrições e reduzir o número de graus de liberdade que devem ser rastreados.

Definition

Coordenadas generalizadas são um conjunto mínimo de parâmetros independentes que especificam unicamente a configuração de um sistema mecânico consistente com suas restrições, reduzindo sua descrição ao seu verdadeiro número de graus de liberdade.

Scope

Este tópico aborda a escolha de coordenadas generalizadas, a noção de espaço de configuração e graus de liberdade, e a classificação de restrições como holonômicas ou não holonômicas, esclerônomas ou reônomas. Ele trata de como as restrições holonômicas são eliminadas por uma escolha de coordenadas apropriada e como o princípio do trabalho virtual e o princípio de d'Alembert lidam com as forças de restrição.

Core questions

• Como a escolha de coordenadas generalizadas reduz o número de variáveis em um problema?
• O que distingue as restrições holonômicas das não holonômicas?
• Como o princípio de d'Alembert e o trabalho virtual eliminam as forças de restrição desconhecidas?

Key concepts

• Coordenadas generalizadas
• Graus de liberdade
• Espaço de configuração
• Restrições holonômicas versus não holonômicas
• Deslocamento virtual e trabalho virtual
• Forças de restrição

Key theories

Restrições holonômicas e graus de liberdade

Restrições holonômicas são expressáveis como equações entre coordenadas e tempo; cada uma reduz os graus de liberdade em um e pode ser absorvida pela escolha de coordenadas generalizadas adequadas.

Princípio de d'Alembert e trabalho virtual

Ao admitir apenas deslocamentos virtuais consistentes com as restrições, as forças de restrição, que não realizam trabalho virtual, são eliminadas, deixando as equações de movimento apenas em termos das forças aplicadas.

Clinical relevance

A escolha de coordenadas generalizadas que respeitam as restrições é o que torna a dinâmica de articulações, braços robóticos, trens de engrenagens e mecanismos articulados tratável, e a distinção holonômica/não holonômica é decisiva para o controle de sistemas de rolamento e com rodas.

History

O princípio de d'Alembert de 1743 reduziu a dinâmica a um problema de estática combinando forças inerciais e aplicadas, e Lagrange se baseou nele para desenvolver o método das coordenadas generalizadas que elimina as forças de restrição. A classificação sistemática das restrições, incluindo o termo não holonômico, foi aprimorada no final do século XIX por Hertz e outros.

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

O que torna uma restrição não holonômica?

Uma restrição não holonômica não pode ser escrita como uma relação algébrica apenas entre as coordenadas; ela tipicamente envolve velocidades de forma não integrável, como em uma roda rolando sem deslizar, e não pode ser removida por uma mudança de coordenadas.

Por que é conveniente eliminar as forças de restrição?

As forças de restrição são geralmente desconhecidas e desinteressantes, como a força normal de uma pista. Como elas não realizam trabalho sob deslocamentos virtuais consistentes com as restrições, o método lagrangiano as remove automaticamente das equações de movimento.