Equações de Hamilton e Espaço de Fase

As equações de Hamilton são um par de equações de primeira ordem que descrevem a evolução temporal das coordenadas e dos momentos conjugados como derivadas do Hamiltoniano, descrevendo o movimento como um fluxo no espaço de fase.

Definition

As equações de Hamilton são as duas equações diferenciais de primeira ordem, uma que fornece a taxa de variação de cada coordenada e a outra de cada momento conjugado como derivadas parciais do Hamiltoniano, que determinam a trajetória de um sistema através do espaço de fase.

Scope

Este tópico abrange a transformação de Legendre que define o Hamiltoniano a partir do Lagrangiano, as equações canónicas resultantes para cada par coordenada-momento, a estrutura do espaço de fase e as trajetórias dentro dele, e o teorema de Liouville sobre a conservação do volume do espaço de fase sob o fluxo Hamiltoniano.

Core questions

• Como é o Hamiltoniano construído a partir do Lagrangiano por uma transformação de Legendre?
• O que representa uma trajetória no espaço de fase e como ela evolui?
• Por que o volume do espaço de fase é conservado sob o fluxo Hamiltoniano?

Key concepts

• Transformação de Legendre
• Momento conjugado
• Espaço de fase e trajetória de fase
• Equações canónicas
• Teorema de Liouville
• Superfície de energia

Key theories

Equações canónicas de Hamilton

O movimento é governado por equações de primeira ordem nas quais a taxa de variação de cada coordenada é igual à derivada do Hamiltoniano em relação ao momento, e a taxa de variação de cada momento é igual ao negativo da derivada do Hamiltoniano em relação à coordenada.

Teorema de Liouville

O fluxo gerado por um Hamiltoniano preserva o volume no espaço de fase, de modo que uma região de condições iniciais evolui sem alterar a sua medida no espaço de fase, um pilar da mecânica estatística.

Clinical relevance

A representação do espaço de fase e o teorema de Liouville são a base da mecânica estatística e dos métodos de conjunto, da dinâmica de feixes de aceleradores onde a área do espaço de fase é uma emitância conservada, e dos integradores simpléticos numéricos usados em simulações orbitais e moleculares de longo prazo.

History

Hamilton introduziu as equações canónicas nos seus artigos de 1834-1835 sobre um método geral em dinâmica, transformando a descrição Lagrangiana de segunda ordem numa de primeira ordem simétrica. O teorema de Liouville de 1838 sobre a conservação do volume e o uso posterior de Gibbs do espaço de fase para conjuntos estatísticos estabeleceram o ponto de vista do espaço de fase como central para a física.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

O que é espaço de fase?

O espaço de fase é o espaço cujas coordenadas são todas as posições generalizadas e os seus momentos conjugados; um único ponto especifica completamente o estado instantâneo de um sistema, e a história do sistema é uma curva através deste espaço.

Por que as equações de Hamilton são de primeira ordem enquanto as de Lagrange são de segunda ordem?

Ao tratar os momentos como variáveis independentes juntamente com as coordenadas, a formulação Hamiltoniana duplica o número de variáveis, mas reduz cada equação para primeira ordem, expondo a estrutura simétrica do espaço de fase.