Princípio da Mínima Ação

O princípio da mínima ação afirma que o caminho físico que um sistema segue entre duas configurações é aquele para o qual a integral de ação é estacionária.

Definition

O princípio da mínima ação é a afirmação de que um sistema mecânico evolui ao longo da trajetória para a qual a ação, a integral da Lagrangiana ao longo do tempo, é estacionária sob pequenas variações do caminho, mantendo os pontos finais fixos.

Scope

Este tópico abrange o funcional de ação como a integral temporal da Lagrangiana, o princípio de Hamilton da ação estacionária, o cálculo de variações usado para extrair caminhos físicos e a distinção entre o princípio mais antigo de Maupertuis (ação abreviada) e o princípio de Hamilton. Ele motiva por que uma única declaração variacional pode codificar toda a mecânica.

Core questions

• O que é a ação e o que significa para ela ser estacionária?
• Como o princípio de Hamilton difere do princípio mais antigo de Maupertuis da mínima ação?
• Por que um único princípio variacional pode reproduzir toda a dinâmica Newtoniana?

Key concepts

• Funcional de ação
• Cálculo de variações
• Caminho estacionário (extremal)
• Condições de contorno (pontos finais)
• Ação abreviada

Key theories

Princípio de Hamilton

Entre todos os caminhos com pontos finais fixos no espaço de configuração, o movimento físico é aquele cuja integral de ação tem variação primeira nula, tornando a ação estacionária.

Princípio da ação abreviada de Maupertuis

Uma forma variacional anterior mantém a energia fixa e torna a ação abreviada estacionária ao longo do caminho no espaço de configuração, equivalente sob condições apropriadas ao princípio de Hamilton.

Clinical relevance

O princípio da ação é a ponte conceitual da física clássica para a moderna: ele se generaliza para a teoria de campo relativística e fornece a base da formulação de integrais de caminho de Feynman da mecânica quântica, onde cada caminho contribui ponderado pela ação.

History

Maupertuis propôs um princípio de mínima ação na década de 1740 por motivos metafísicos, que Euler e Lagrange estabeleceram em bases matemáticas sólidas por meio do cálculo de variações. Hamilton o reformulou na década de 1830 no princípio moderno da ação estacionária ao longo do tempo, que se tornou o ponto de partida unificador para a mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana.

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

A ação é realmente minimizada?

Frequentemente, mas nem sempre. A condição definidora é que a ação seja estacionária, o que significa que sua primeira variação se anula; para caminhos suficientemente longos, o ponto estacionário pode ser um ponto de sela em vez de um mínimo.

Como o princípio se relaciona com a mecânica quântica?

Na integral de caminho de Feynman, uma amplitude quântica soma contribuições de todos os caminhos ponderadas pelo exponencial da ação; o caminho clássico de mínima ação emerge onde contribuições próximas se somam construtivamente.