Martingales em Tempo Discreto

Uma martingale em tempo discreto é uma sequência de variáveis aleatórias, indexada pelo tempo e ligada a um fluxo crescente de informação, cuja melhor previsão do próximo valor, dado o passado, é sempre o seu valor atual.

Definition

Uma martingale em tempo discreto é uma sequência integrável de variáveis aleatórias adaptada a uma filtração para a qual a esperança condicional de cada termo, dada a informação anterior, é igual ao termo imediatamente precedente.

Scope

O tópico abrange filtrações e processos adaptados e previsíveis, as definições de martingale, submartingale e supermartingale, a propriedade da esperança condicional e suas consequências, a decomposição de Doob de uma submartingale em uma martingale e uma parte previsível crescente, transformações de martingale representando os ganhos de uma estratégia de apostas, e exemplos padrão como somas de variáveis centradas independentes e processos de razão de verossimilhança.

Core questions

• Que estrutura de informação uma filtração codifica e o que significa para um processo ser adaptado?
• Como as martingales, submartingales e supermartingales diferem?
• Como a decomposição de Doob separa um processo em uma parte de jogo justo e uma tendência?
• Por que nenhuma estratégia de apostas previsível pode transformar uma martingale em um jogo vencedor?

Key concepts

• filtração
• processos adaptados e previsíveis
• submartingale e supermartingale
• decomposição de Doob
• transformação de martingale

Key theories

Decomposição de Doob

Qualquer processo integrável adaptado se divide unicamente em uma martingale mais um processo previsível que começa em zero, e o processo é uma submartingale exatamente quando esta parte previsível é crescente, isolando a tendência sistemática das flutuações de jogo justo.

Transformação de Martingale e justiça de jogos justos

Os ganhos acumulados de uma estratégia de apostas previsível aplicada a uma martingale formam outra martingale, de modo que nenhuma estratégia usando apenas informações passadas pode produzir um ganho esperado positivo, a afirmação precisa de que um jogo justo não pode ser vencido.

Clinical relevance

Martingales em tempo discreto formalizam informações sequenciais e apostas justas, sustentando os testes sequenciais de razão de verossimilhança da estatística, a condição de não-arbitragem em modelos financeiros discretos e a construção de sequências de diferenças de martingale usadas para provar desigualdades de concentração e teoremas limite para dados dependentes.

History

Ville introduziu as martingales para refutar a existência de sistemas de jogo bem-sucedidos, e Doob construiu a teoria em tempo discreto com a decomposição que leva seu nome, tornando as martingales uma ferramenta padrão cujo tratamento no texto de Williams se tornou um modelo de exposição.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Jean Ville
• Jacques Neveu

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

O que é uma filtração?

Uma filtração é uma família crescente de sigma-álgebras, uma para cada tempo, representando a informação disponível até aquele tempo; um processo é adaptado a ela quando cada valor é conhecido dada a informação em seu próprio tempo.

O que distingue uma submartingale de uma supermartingale?

Uma submartingale tende a aumentar na média condicional, uma vez que seu próximo valor esperado dado o passado é pelo menos o valor presente, enquanto uma supermartingale tende a diminuir; uma martingale é exatamente o caso limite em que a média condicional permanece inalterada.