時間独立シュレーディンガー方程式の解

ポテンシャル中の量子粒子のエネルギー準位と定常波動関数を見つけることは、計算量子力学における最初の課題であり、波動関数に沿って射撃法を用いるか、離散化されたハミルトニアンを対角化することによって解決されます。

Definition

時間独立シュレーディンガー方程式は、量子系の定常状態とエネルギー準位を解とする固有値方程式であり、これを数値的に解くことは、与えられたポテンシャルに対してそれらの固有値と固有関数を見つけることを意味します。

Scope

このトピックでは、1次元および数次元における定常シュレーディンガー方程式の数値解法について扱います。具体的には、固有値探索を伴う射撃法とマッチング法、Numerov積分法、およびグリッド上または基底上でハミルトニアンを離散化する行列法が含まれます。束縛状態と、簡単にですが散乱状態も扱います。

Core questions

• 射撃法は、境界条件を課すことによってどのようにエネルギー固有値を見つけるのでしょうか？
• Numerov法は、なぜシュレーディンガー方程式の積分に適しているのでしょうか？
• ハミルトニアンを離散化すると、問題はどのように行列の対角化に変わるのでしょうか？
• 離散的な束縛状態は連続体からどのように区別されるのでしょうか？

Key theories

射撃法とマッチング法

波動関数は試行エネルギーに対して境界から内側へ積分され、内側と外側の解が滑らかに一致するまでエネルギーが調整され、これにより許容される固有値が選択されます。

Numerov積分法

Numerov法は、シュレーディンガー方程式の特殊な構造（1階微分項がないこと）を利用し、波動関数を積分する際に低コストで高次の精度を達成します。

ハミルトニアンの行列対角化

グリッド上または有限基底でハミルトニアンを表現すると、その固有値がエネルギー準位であり、固有ベクトルが離散化された波動関数である行列が得られ、これらは標準的な固有値ソルバーによって求められます。

Clinical relevance

定常シュレーディンガー方程式を解くことで、原子および分子のエネルギー準位、量子井戸やナノ構造のスペクトル、そして電子構造計算の基礎となる単一粒子軌道が得られます。

History

シュレーディンガー方程式が1926年に定式化された後、その数値積分はすぐに始まり、元々は天体力学のために考案されたNumerov法が主要な手法となりました。コンピューターの発展により、ハミルトニアンの完全な対角化が一般的な代替手段となりました。

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

射撃法は行列対角化の代わりにいつ使用すべきですか？

射撃法は、一度に単一の固有値が求められる1次元または動径方向の問題に対しては自然で正確です。多くの準位が一度に必要とされる場合や、射撃法が扱いにくくなる高次元の場合には、行列対角化の方が便利です。

なぜこの方程式にはNumerov法が好まれるのですか？

シュレーディンガー方程式には1階微分項がなく、Numerovスキームはこの特性を利用するように特別に設計されており、基本的な積分器と比較してほとんど追加の作業なしに4次の精度を提供します。