時間依存および時間非依存シュレーディンガー方程式

時間依存シュレーディンガー方程式は波動関数がどのように発展するかを示し、時間依存性を分離することで、確定したエネルギーを持つ定常状態の解となる固有値問題である時間非依存方程式に帰着する。

Definition

時間依存シュレーディンガー方程式は、ハミルトニアンが波動関数の時間発展を生成することを示す一方、時間非依存シュレーディンガー方程式は、確定したエネルギーを持つ定常状態の解となる結果的な固有値方程式である。

Scope

このトピックは、時間依存シュレーディンガー方程式と確率の保存、時間非依存ハミルトニアンに対する変数分離、エネルギー固有値問題としての時間非依存方程式、定常状態とその自明な位相発展、エネルギー固有状態における一般状態の展開、および任意の状態を時間的に進行させるプロパゲーターを扱う。

Core questions

• ハミルトニアンは任意の量子状態の発展をどのように決定するのか？
• 時間と空間を分離すると、なぜエネルギー固有値問題が生じるのか？
• 時間発展において定常状態に特有なことは何か？
• 任意の重ね合わせの将来の状態はどのように計算されるのか？

Key concepts

• ハミルトニアン演算子
• 定常状態
• エネルギー固有値
• 変数分離
• 確率保存
• プロパゲーター

Key theories

変数分離

ハミルトニアンが明示的な時間依存性を持たない場合、空間関数と時間位相の積の形式の解は、完全な方程式を時間非依存固有値問題に帰着させ、各エネルギー固有状態は時間が経過するにつれて振動する位相のみを獲得する。

スペクトル展開とプロパゲーター

任意の初期状態はエネルギー固有状態の重ね合わせとして記述でき、それぞれが独自の位相で発展するため、完全な時間発展は、ある時点の状態を任意の後の時点にマッピングするエネルギー・スペクトルから構築されたプロパゲーターによって捉えられる。

Clinical relevance

この一対の方程式は、ほぼすべての量子計算の出発点となる。定常状態は原子・分子分光法で測定されるスペクトル線を与え、時間依存形式は遷移、波束ダイナミクス、量子技術における量子ビットのコヒーレント制御を支配する。

History

シュレーディンガーは1926年の一連の論文で両方の形式の方程式を発表し、直ちに時間非依存方程式を水素原子に適用した。ディラックとフォン・ノイマンは後に、時間発展をユニタリープロパゲーターの抽象的な演算子言語で再構築した。

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

時間とともに発展するのに、なぜ定常状態と呼ばれるのか？

定常状態は全体的な振動位相のみを獲得し、これはあらゆる測定確率や期待値において相殺されるため、波動関数自体は複素平面内で回転し続けているにもかかわらず、すべての観測可能な特性は時間的に一定のままである。

時間非依存シュレーディンガー方程式はいつ使用できるのか？

ハミルトニアンが時間に明示的に依存せず、変数分離が可能な場合に適用される。時間変動するポテンシャルの場合、完全な時間依存方程式を解くか、時間依存摂動論を使用する必要がある。