ラドン＝ニコディムの定理と積測度

これらの結果は、測度を比較し、組み合わせるものです。ラドン＝ニコディムの定理は、ある測度を別の測度に対する密度として表現し、積測度とフビニの定理は、多変数にわたる積分を反復プロセスにします。

Definition

ラドン＝ニコディムの定理は、シグマ有限測度に関して絶対連続な測度は、その測度に対する密度の積分に等しいと述べています。積測度は、因子空間上の測度をそれらの積に拡張し、多変数積分を一度に1変数ずつ実行できるようにします。

Scope

このトピックでは、ハーン分解とジョルダン分解を伴う符号付き測度と複素測度、絶対連続性と相互特異性、ルベーグ分解、ラドン＝ニコディムの定理とその導関数、積測度の構成、および反復積分の順序を交換するためのフビニの定理とトネリの定理について扱います。

Core questions

• ある測度は、別の測度に対して、絶対連続部分と特異部分にどのように分解されるのでしょうか？
• ある測度が別の測度に対して密度を持つのはどのような場合で、その密度とは何でしょうか？
• 積空間上の測度は、因子上の測度からどのように構築されるのでしょうか？
• 反復積分の順序はいつ交換できるのでしょうか？

Key theories

ラドン＝ニコディムの定理

ある測度がシグマ有限測度に関して絶対連続である場合、それは一意な密度関数、すなわちラドン＝ニコディム導関数の積分であり、これは確率密度と条件付き期待値の厳密な基礎となります。

フビニ＝トネリの定理

シグマ有限性のもとでは、積空間上の積分はどちらの反復積分にも等しく、非負関数にはトネリの形式が、可積分関数にはフビニの形式が適用され、積分の順序交換が正当化されます。

Clinical relevance

ラドン＝ニコディム導関数は、統計学における確率密度関数および尤度比であり、確率論における条件付き期待値の厳密な基礎となります。一方、積測度とフビニの定理は、物理学および応用数学における同時分布、独立性、および多次元積分の取り扱いを支えています。

History

ラドンは1913年にユークリッド空間における密度定理を証明し、ニコディムは1930年にそれを抽象測度に拡張しました。反復積分に関するフビニの定理は1907年に発表され、1909年にはトネリによる非負関数版が補完され、積分の理論が完成しました。

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

ラドン＝ニコディム導関数とは何ですか？

これは、ある測度が別の測度に関して絶対連続である場合に、その測度を別の測度に対する積分として表現する密度関数です。確率論においては、まさに確率密度関数に相当します。

重積分の順序はいつ交換できますか？

トネリの定理は、シグマ有限空間上の非負可測関数に対して順序交換を許可し、フビニの定理は、関数が積空間上で可積分である場合に順序交換を許可します。これらを合わせると、実用上遭遇するケースを網羅できます。