摂動論と近似法
ほとんどの量子力学の問題は厳密に解くことができないため、近似法が不可欠です。摂動論は、系を解ける部分と小さな補正部分に分けて扱います。一方、変分法とWKB法は、他の領域におけるエネルギーと波動関数を限定または推定します。
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Definition
量子力学における近似法とは、シュレーディンガー方程式が厳密に解けない場合に、エネルギー、状態、遷移確率を推定するための系統的な手法であり、主なものとして摂動論、変分法、半古典WKB近似があります。
Scope
この分野は、縮退したケースを含むエネルギーと状態の補正のための時間独立摂動論、遷移確率のための時間依存摂動論とフェルミの黄金律、基底状態エネルギーを上方から制限する変分原理、そしてゆっくりと変化するポテンシャルとトンネル効果のためのWKB半古典近似を扱います。
Sub-topics
Core questions
- 小さな摂動が加わったとき、エネルギー準位と状態はどのように補正されますか？
- 時間依存の影響下で、状態間の遷移確率はどのように計算されますか？
- 方程式を厳密に解かずに、基底状態エネルギーをどのように制限できますか？
- 半古典近似はどのような場合に正確な結果を与えますか？
Key concepts
- 摂動展開
- 縮退摂動論
- フェルミの黄金律
- 変分原理
- 試行波動関数
- WKB近似
Key theories
- 摂動論
- 小さな摂動のべき乗でエネルギーと状態を展開することで、次数ごとに補正が得られます。主要なエネルギーシフトは摂動の期待値に等しく、その時間依存形式は状態間の遷移確率に対するフェルミの黄金律をもたらします。
- 変分法とWKB法
- 変分原理は、任意の試行状態におけるハミルトニアンの期待値が基底状態エネルギーの上限であることを保証します。一方、WKB近似は、ゆっくりと変化する局所的な波長から波動関数を構築し、ポテンシャルが波長に対してほとんど変化しない場合に正確です。
Clinical relevance
これらの方法は、量子力学を実際の系に適用可能にします。摂動論はシュタルク効果やゼーマン効果による分裂、原子の遷移確率を予測し、変分法は量子化学における正確な基底状態エネルギーを与え、WKB法は原子物理学、核物理学、固体物理学におけるトンネル確率と量子化条件を説明します。
History
レイリーとシュレーディンガーは1920年代に時間独立摂動論を発展させました。ディラックは時間依存摂動論を定式化し、フェルミは遷移確率のための黄金律を普及させました。一方、WKB法は1926年にウェンツェル、クレーマース、ブリルアンによって独立に導入されました。
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- 摂動論はどのような場合に失敗しますか？
- 摂動がエネルギー間隔に比べて小さくない場合、準位がほぼ縮退していて分母が発散する場合、または級数が収束しない場合に破綻します。そのような場合には、代わりに変分法、半古典法、または数値計算手法が必要となります。
- 変分法が常に基底状態エネルギーを過大評価するのはなぜですか？
- 任意の試行状態は真の固有状態の混合であり、すべての励起状態のエネルギーは基底状態よりも高いため、ハミルトニアンの期待値は加重平均となり、最低固有値より低くなることはありません。