箱の中の粒子とポテンシャル井戸

箱の中の粒子と方形ポテンシャル井戸は、最も単純で厳密に解ける量子系です。粒子を閉じ込めることで、そのエネルギーは離散的な準位に、波動関数は定常波パターンに限定され、量子化が最も純粋な形で示されます。

Definition

箱の中の粒子とは、無限または有限の深さのポテンシャルによって領域に閉じ込められた量子のモデルであり、その定常状態は境界条件によって固定された量子化されたエネルギーを持つ定常波です。

Scope

このトピックでは、厳密なエネルギー準位と正弦波定常波を持つ無限方形井戸、限られた数の束縛状態と古典的に禁じられた領域への指数関数的な漏洩を伴う有限方形井戸、境界での波動関数とその導関数の接続条件、零点エネルギー、および縮退を伴う2次元および3次元の箱への拡張について扱います。

Core questions

• 粒子を閉じ込めると、なぜ離散的なエネルギー準位が生じるのですか？
• 波動関数は井戸の壁でどのような境界条件を満たす必要がありますか？
• 有限井戸が限られた数の束縛状態しか持たないのはなぜですか？
• 零点エネルギーとは何ですか、またなぜそれを取り除くことができないのですか？

Key concepts

• 無限方形井戸
• 有限方形井戸
• 定常波
• 境界条件
• 零点エネルギー
• 縮退

Key theories

無限方形井戸

不透過性の壁の間に閉じ込められた粒子は、壁で消滅する波動関数を持ち、半波長の整数倍の定常波と、その整数の2乗に比例して増加するエネルギーを強制されます。これは量子化の最も明確な例です。

有限方形井戸

壁の高さが有限の場合、波動関数は禁制領域に指数関数的に漏れ出し、井戸は超越的な接続条件によって決定される有限個の束縛状態のみをサポートします。1次元では常に少なくとも1つの束縛状態が存在します。

Clinical relevance

箱型モデルはナノサイエンスの基礎です。半導体における量子井戸、量子細線、量子ドットは、設計された箱の中の粒子のように振る舞い、その離散的な準位が量子ドットディスプレイの色や量子井戸レーザーおよび検出器の動作を調整します。

History

閉じ込められた粒子のモデルは、シュレーディンガーの1926年の方程式の直後に、量子化の最も単純な例として登場しました。分子線エピタキシーによって教科書の理想化に合致する実際の半導体量子井戸を製造できるようになった20世紀後半に、再び中心的な役割を果たすようになりました。

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Arnold Sommerfeld
• Lev Landau

Seminal works

• griffiths2018
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

箱の中の最低エネルギーがゼロより大きくなければならないのはなぜですか？

粒子を有限領域に閉じ込めると、その波動関数は曲がり、不確定性原理により運動量にゼロではない広がりが生じるため、運動エネルギーはゼロになり得ません。この不可避な最小値が零点エネルギーです。

有限井戸は無限井戸とどのように異なりますか？

無限井戸は無限に多くの束縛状態を持ち、波動関数は壁で厳密に消滅しますが、有限井戸は有限個の束縛状態のみをサポートし、その波動関数は古典的に禁じられた領域にわずかな距離だけ広がります。