同次ポアソン過程

同次ポアソン過程は、一定の平均発生率で生じる事象を数えるものであり、任意の区間における事象の数はポアソン分布に従い、互いに素な区間における事象の数は独立である。

Definition

発生率ラムダの同次ポアソン過程とは、ゼロから始まる独立定常増分を持つ計数過程であり、長さtの区間における事象の数は平均ラムダかけるtのポアソン分布に従う。これは、事象間隔時間が発生率ラムダの独立な指数確率変数である過程と等価である。

Scope

このトピックでは、発生率パラメーター、事象数のポアソン分布、独立定常増分、事象間隔時間の指数分布と到着時間のガンマ分布、事象数に条件付けられた事象発生時間の順序統計量特性、およびこれらの結果の基礎となる無記憶性について扱う。

Core questions

• 同次ポアソン過程は、その発生率によってどのように定義され、パラメーター化されるのか？
• なぜ事象間隔時間は指数分布に従い、独立なのか？
• 事象の数が与えられた場合、到着時間はどのように分布するのか？
• 無記憶性の役割は何か？

Key theories

計数記述と事象間隔記述の等価性

計数過程が定常独立増分を持つポアソン増分を持つのは、その連続する事象間隔時間が同じ発生率を持つ独立な指数分布に従う場合のみである。したがって、この過程は計数によっても、待機時間の合計によっても構築できる。

順序統計量特性

ある区間における事象数に条件付けられた場合、事象発生時間はその区間における独立一様点の順序統計量として分布する。これにより、多くの条件付き計算やシミュレーションが容易になる。

Clinical relevance

同次ポアソン過程は、待ち行列における到着、放射性崩壊の計数、光子検出、および稀な事象の発生に関する標準的なモデルであり、初歩的なM/M/1およびM/G/1待ち行列における到着メカニズムとして、また事象時間データにおけるランダム性のヌルモデルとして機能する。

History

Bortkiewiczによる1898年の稀な事象の分析と、Erlangによる1909年の電話トラフィックの研究は、ポアソン過程を経験的に確立した。一方、RutherfordとGeigerによる1910年のアルファ粒子の計数は、古典的な物理的確認を与えた。厳密な理論は、独立増分を持つ過程の一般的な研究から発展した。

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

なぜポアソン過程の事象間隔時間は指数分布に従うのか？

増分の独立性と定常性により、次の事象までの待機時間は無記憶性を持つことが強制され、唯一の連続的な無記憶分布は指数分布であり、その発生率は過程の発生率に等しい。

発生率パラメーターは何を意味するのか？

発生率ラムダは単位時間あたりの平均事象数を意味する。ある区間における期待される事象数はラムダとその長さの積であり、平均事象間隔時間はラムダの逆数である。