コホモロジー

コホモロジーはホモロジーを双対化して空間にコチェインを割り当て、決定的に環構造（カップ積）を持つことで、ホモロジー単独では区別できない空間を識別する。

Definition

コホモロジーは、特異チェイン複体に双対なコチェイン複体における境界を法とするサイクルとして得られるアーベル群の列を空間に割り当てる。カップ積を用いると、ホモロジーよりも洗練された不変量である次数付き可換環を形成する。

Scope

このトピックでは、コホモロジーを双対コチェイン複体のホモロジーとして展開し、普遍係数定理によってホモロジーと関連付け、カップ積によって与えられる乗法構造を追加して全コホモロジーを次数付き環とする。滑らかな多様体上のド・ラームコホモロジーと、ド・ラームの定理による特異コホモロジーとの同定、カップ積とキャップ積、そして向き付けられた閉多様体のコホモロジーとそのホモロジーを関連付けるポアンカレ双対性について扱う。キュネットの定理と特性類の応用も含まれる。

Core questions

• コホモロジーは普遍係数定理を通じてホモロジーとどのように関連しているか？
• カップ積環構造は、基礎となる群を超えてどのような追加情報を符号化しているか？
• ポアンカレ双対性は、向き付けられた閉多様体のコホモロジーとホモロジーをどのように結びつけているか？
• ド・ラームの定理は、滑らかな微分形式コホモロジーを位相的コホモロジーと同定するのはなぜか？

Key concepts

• コチェイン複体と普遍係数定理
• カップ積とコホモロジー環
• キャップ積とポアンカレ双対性
• ド・ラームコホモロジーとド・ラームの定理
• 積に対するキュネットの定理

Clinical relevance

コホモロジー環は、特性類、障害理論、および交叉積の自然な場であり、コホモロジーを微分幾何学、ファイバー束のトポロジー、および数理物理学におけるゲージ理論の中心的なものとしている。

History

コホモロジーは1930年代にド・ラーム、チェフ、アレクサンダー、コルモゴロフらの研究から出現した。ホイットニーらによって導入されたカップ積は、ホモロジーには見えなかった乗法構造を明らかにし、ド・ラームの定理は滑らかな理論と位相的な理論を結びつけ、コホモロジーの中心的な役割を確立した。

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

ホモロジーがすでに穴を検出するのに、なぜコホモロジーを使うのか？

コホモロジーはホモロジーにはないカップ積を介した環構造を持つ。同じホモロジー群を持つ空間でも異なるコホモロジー環を持つことがあり、コホモロジーは厳密に洗練された不変量である。

ポアンカレ双対性は何を述べているか？

向き付けられた閉n多様体の場合、k次コホモロジーは(n-k)次ホモロジーと同型である。幾何学的には、交叉を通じてサイクルを相補的な次元のサイクルと対にする。