論理定項と論理性

論理学は通常、形式的かつ主題中立的であると言われるが、それは「かつ」「すべて」「ではない」といった論理語彙と、それ以外の言語との間に原則に基づいた線引きがあることを前提としている。

Definition

論理定項とは、その意味があらゆる解釈において固定されており、そのおかげで議論の妥当性がその主題ではなく形式に依存するような表現（結合子や量化子など）である。

Scope

このトピックは、論理学における境界設定問題、すなわち、どの表現が論理定項であり、どのような性質がそれらをそうさせているのかに関わる。領域の置換に対する不変性（タルスキ＝シャーのテーゼ）、調和的な導入規則と除去規則に基づく証明論的基準、文法的または推論的説明といった主要な基準、そしてこの問題が論理形式、ひいては論理的帰結として何が数えられるかに与える影響について扱う。

Core questions

• どの表現が論理定項と見なされるのか、そしてそのリストは開いているのか閉じているのか？
• 論理性は領域の置換に対する不変性によって特徴づけられるのか？
• 論理定項は純粋にその推論規則によって特徴づけられるのか、そして許容される規則を制約するものは何か？
• 論理定項の選択は帰結関係を決定するのか、それとも単に反映するだけなのか？

Key concepts

• 主題中立性
• 置換不変性
• 導入規則と除去規則
• 証明論的調和
• 保守性
• 論理形式

Key theories

置換不変性（タルスキ＝シャー）基準

ある概念が論理的であるのは、それが個体の領域の任意の置換に対して不変である場合である。これは、論理的概念が特定の対象の存在に影響されないことを要求することで、主題中立性を捉えている。

証明論的調和

結合子が真に論理的であるのは、その導入規則と除去規則が調和しており、言語の他の部分に関する新しい定理が生成されない場合に限られる。ベルナップによるプライアーの「トンク」への反論は、任意の推論規則が定項を定義することはできないことを示している。

History

ゲンツェンが1930年代に提唱した自然演繹規則は、結合子がその推論的役割によって定義されうることを示唆した。この考えは、プライアーが1960年に提唱した「トンク」結合子と、ベルナップが1962年に保守性と調和を要求して行った反論によって洗練された。タルスキが死後出版された1966年の講義で置換不変性の基準を導入し、後にタルスキ＝シャーのテーゼとして発展し、支配的なモデル論的解答となった。

Debates

意味論的境界設定 vs. 証明論的境界設定

論理性がモデル論的な不変性条件によって最もよく固定されるのか、それとも調和や保守性といった推論規則の制約によって固定されるのか、そして両アプローチがどの表現が論理的であるかについて一致するかどうか。

Key figures

• Alfred Tarski
• Gila Sher
• Nuel Belnap
• Arthur Prior
• Gerhard Gentzen

Seminal works

• tarski1986what
• belnap1962

Frequently asked questions

「トンク」問題とは何か？

アーサー・プライアーは、「A」から「AトンクB」を推論でき、かつ「AトンクB」から「B」を推論できる結合子「トンク」を提案した。これにより、あらゆるものからあらゆるものが導出されてしまう。ベルナップは、このことは、推論規則が真の結合子を定義できるのは、保守性などのさらなる制約を満たす場合に限られることを示しており、病的な「定義」を阻止すると主張した。