確率の基礎

確率の基礎は、事象の起こりやすさがどのように組み合わされるか、および確率変数がどのように記述されるかを規定する基本的な規則です。これらは、確率とは何か、事象の確率をどのように加算および乗算するか、そして確率的な量をその分布、期待値、および分散によってどのように要約するかを定義します。これらは、その後のすべての統計的手法が依存する構成要素となります。

Definition

確率とは、事象が発生する可能性を表現するために、0から1の間の数値として事象に割り当てられるものであり、非負性、標本空間全体での全確率が1であること、および互いに排他的な事象に対する加法性の公理に従います。

Scope

この項目では、標本空間、事象、確率の公理、加法定理と乗法定理、余事象、および期待値と分散を持つ確率変数の概念について説明します。離散確率変数と連続確率変数の区別を導入します。確率は方法論的な基礎として扱われ、臨床的な推奨は行いません。

Core questions

• 標本空間とは何か、また何が事象とみなされるか？
• 結合された事象の確率はどのように加算または乗算されるか？
• 確率変数とは何か、またその分布はどのように要約されるか？
• 期待値と分散はどのように定義され、解釈されるか？

Key concepts

• 標本空間
• 事象
• 確率の公理
• 加法定理
• 乗法定理
• 余事象
• 確率変数
• 期待値（平均）
• 分散と標準偏差

Mechanisms

標本空間は、ランダムな過程のすべての可能な結果を列挙し、事象はその部分集合です。コルモゴロフの公理は、すべての事象が非負の確率を持つこと、標本空間全体が確率1を持つこと、および互いに排他的な事象の和集合の確率がそれらの確率の合計であることを要求します。これらから、余事象の法則（事象が発生しない確率は1からその確率を引いたもの）、2つの事象の和集合に対する一般的な加法定理、および同時発生に対する乗法定理が導かれます。確率変数は各結果に数値を割り当てます。その期待値は、それらの数値の確率加重平均であり、その分散は期待値を中心としたそれらの数値の広がりを測定します。これらの定義は、値が列挙できる離散変数と、密度によって記述される連続変数に適用されます。

Clinical relevance

確率の規則は、診断、リスク、および検査結果に関する不確実性がどのように組み合わされるかを規定するため、それらを理解することは、健康科学における定量的証拠の解釈を支援します。この項目は方法論的な背景であり、個々の臨床的決定を指示するものではありません。

History

初期の確率は、17世紀の偶然のゲームに関する書簡から生まれ、ベルヌーイとラプラスによって体系化されました。確率を標本空間上の測度として定義する現代の公理的基礎は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフによって確立され、この分野を統一し、今日統計学で用いられる厳密な基礎を提供しました。

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Pierre-Simon Laplace
• Jacob Bernoulli

Seminal works

• kolmogorov-1956
• ross-2014
• rosner-2015

Frequently asked questions

2つの事象が互いに排他的であるとはどういう意味ですか？

2つの事象が互いに排他的であるとは、それらが同時に発生することができないことを意味します。そのような事象の場合、いずれか一方が発生する確率は、単にそれぞれの確率の合計となります。

期待値と分散の違いは何ですか？

期待値は確率変数の長期的な平均値であり、分散はその値がその平均値の周りにどれだけ広く散らばっているかを測定します。分散の平方根は標準偏差です。