二項分布とポアソン分布

二項分布とポアソン分布は、生物統計学において最もよく用いられる2つの離散分布です。二項分布は、独立したイエス/ノー試行を固定回数行った場合の成功数を記述するのに対し、ポアソン分布は、事象が一定の平均速度で発生する場合に、固定された時間または空間の間隔で発生する事象の数を記述します。どちらも、健康データに広く見られる計数データをモデル化します。

Definition

二項分布は、それぞれ成功確率pを持つ独立したn回の試行において、与えられた成功数を得る確率を与えます。ポアソン分布は、事象が一定の平均速度で独立して発生する場合に、固定された間隔で発生する事象の確率を与えます。

Scope

本項目では、二項分布とポアソン分布の仮定、パラメータ、平均、分散、それぞれが記述する設定、両者の関係、および正規近似について説明します。健康研究における割合とイベント率へのそれらの使用法を示します。これは方法論的な参考文献であり、臨床的ガイダンスではありません。

Core questions

• 二項分布の状況とポアソン分布の状況を定義する仮定は何ですか？
• 各分布の平均と分散はどのように決定されますか？
• ポアソン分布はいつ二項分布を近似しますか？
• それぞれはいつ正規分布によって近似できますか？

Key concepts

• ベルヌーイ試行
• 試行回数nと成功確率p
• 二項分布の平均と分散
• ポアソン分布の速度パラメータ
• ポアソン分布の平均と分散の等価性
• 二項分布に対するポアソン近似
• 正規近似
• 計数、割合、およびイベント率

Mechanisms

二項分布は、それぞれ成功確率pを持つベルヌーイ試行である、固定されたn回の独立試行から生じます。成功数の平均はnp、分散はnp(1-p)です。ポアソン分布は、nが大きくpが小さいが、それらの積（期待される計数）が中程度に保たれる場合の二項分布の極限として生じるため、多くの機会にわたる稀な事象をモデル化します。ポアソン分布は、その平均と分散の両方に等しい単一のパラメータを持ち、事象が一定の速度で発生することを反映しています。nが大きい場合、またはポアソン平均が大きい場合、どちらの分布も正規分布によって近似できます。このため、割合と率に関する手法では、しばしば正規分布に基づく信頼区間と検定が借用されます。健康研究において、二項分布は治療に反応する患者数などの割合の分析の基礎となり、ポアソン分布は一定期間における集団内の新規症例数などの計数と発生率の基礎となります。

Clinical relevance

二項モデルとポアソンモデルは、健康文献全体で報告される割合とイベント率の分析の基礎となるため、どちらが適用されるかを認識することは、反応率と疾患発生率に関する結果を批判的に読むのに役立ちます。本項目は方法論的なものであり、個別のケアを指示するものではありません。

Epidemiology

ポアソン分布は、人時間（person-time）にわたって蓄積される比較的稀な事象の計数に対する自然なモデルであり、疫学における発生率の分析の基礎となります。二項分布は、閉鎖集団における累積発生率などのリスクと割合の分析の基礎となります。

History

二項分布は、ヤコブ・ベルヌーイが1713年に発表した反復試行の分析で研究され、後にド・モアブルがその正規近似を導き出しました。シメオン・ドニ・ポアソンは、1837年に稀な事象に対する二項分布の極限として、彼の名を冠した分布を導入しました。統計学が医学や公衆衛生に応用されるようになると、どちらも計数データをモデル化するための標準的なツールとなりました。

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

二項モデルとポアソンモデルのどちらを使用すべきか、どのように判断すればよいですか？

独立したイエス/ノー試行の回数が固定されており、成功数を数える場合は二項分布を使用します。事象が時間または空間の連続的な間隔でほぼ一定の速度で発生し、試行回数が固定されていない場合はポアソン分布を使用します。

ポアソン分布の平均がその分散に等しいのはなぜですか？

これは、稀な事象に対する二項分布の極限としての分布の構造から導かれます。この等価性は実用的なチェックでもあり、分散が平均を大幅に超える計数データ（過分散）は単純なポアソンモデルに適合しない可能性があるためです。