Ukuran Radon-Nikodym dan Produk

Hasil-hasil ini membandingkan dan menggabungkan ukuran: teorema Radon-Nikodym merepresentasikan satu ukuran sebagai densitas dikalikan dengan ukuran lain, sementara ukuran produk dan teorema Fubini menjadikan integrasi atas beberapa variabel sebagai proses berulang.

Definition

Teorema Radon-Nikodym menyatakan bahwa suatu ukuran yang kontinu secara absolut terhadap ukuran sigma-hingga sama dengan integral dari suatu densitas terhadapnya; ukuran produk memperluas ukuran pada ruang faktor ke produknya sehingga integrasi multi-variabel dapat dilakukan satu variabel pada satu waktu.

Scope

Topik ini mencakup ukuran bertanda dan kompleks dengan dekomposisi Hahn dan Jordan, kontinuitas absolut dan singularitas mutual, dekomposisi Lebesgue, teorema Radon-Nikodym dan turunannya, konstruksi ukuran produk, serta teorema Fubini dan Tonelli untuk mempertukarkan urutan integral berulang.

Core questions

• Bagaimana suatu ukuran didekomposisi relatif terhadap ukuran lain menjadi bagian yang kontinu secara absolut dan singular?
• Kapan suatu ukuran memiliki densitas terhadap ukuran lain, dan apakah densitas itu?
• Bagaimana suatu ukuran pada ruang produk dibangun dari ukuran pada faktor-faktornya?
• Kapan urutan integral berulang dapat dipertukarkan?

Key theories

Teorema Radon-Nikodym

Jika suatu ukuran kontinu secara absolut terhadap ukuran sigma-hingga, maka itu adalah integral dari fungsi densitas unik, turunan Radon-Nikodym, yang merupakan dasar yang ketat dari densitas probabilitas dan ekspektasi bersyarat.

Teorema Fubini-Tonelli

Di bawah sigma-keterhinggaan, integral atas ruang produk sama dengan integral berulang, dengan bentuk Tonelli untuk fungsi non-negatif dan bentuk Fubini untuk fungsi yang dapat diintegralkan, membenarkan pertukaran urutan integrasi.

Clinical relevance

Turunan Radon-Nikodym adalah fungsi densitas probabilitas dan rasio kemungkinan statistik serta dasar yang ketat dari ekspektasi bersyarat dalam probabilitas, sementara ukuran produk dan teorema Fubini mendasari perlakuan distribusi gabungan, independensi, dan integral multi-dimensi dalam fisika dan matematika terapan.

History

Radon membuktikan teorema densitas untuk ruang Euclidean pada tahun 1913 dan Nikodym memperluasnya ke ukuran abstrak pada tahun 1930. Teorema Fubini tentang integrasi berulang berasal dari tahun 1907 dan dilengkapi oleh versi non-negatif Tonelli pada tahun 1909, melengkapi teori integrasi produk.

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

Apa itu turunan Radon-Nikodym?

Ini adalah fungsi densitas yang menyatakan satu ukuran sebagai integral terhadap ukuran lain ketika yang pertama kontinu secara absolut terhadap yang kedua; dalam probabilitas, ini adalah fungsi densitas probabilitas.

Kapan urutan integral ganda dapat ditukar?

Teorema Tonelli mengizinkannya untuk fungsi terukur non-negatif pada ruang sigma-hingga, dan teorema Fubini mengizinkannya setiap kali fungsi tersebut dapat diintegralkan di atas produk; bersama-sama keduanya mencakup kasus-kasus yang ditemui dalam praktik.