श्रेणी सिद्धांत और आधार
श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं और उनके संबंधों का अध्ययन वस्तुओं और संरचना-संरक्षण मानचित्रों के माध्यम से करता है, जो एक एकीकृत भाषा और गणित के लिए एक वैकल्पिक, संरचनात्मक आधार प्रदान करता है।
Definition
श्रेणी सिद्धांत गणित की वह शाखा है जो श्रेणियों, वस्तुओं के संग्रह के साथ-साथ संयोज्य मॉर्फिज्म, और उनके बीच के फंक्टरों और प्राकृतिक परिवर्तनों का अध्ययन करके गणितीय सिद्धांतों की सामान्य संरचना को अमूर्त करती है, जो आंतरिक संविधान के बजाय संबंधों पर जोर देती है।
Scope
यह क्षेत्र श्रेणियों, फंक्टरों और प्राकृतिक परिवर्तनों, सार्वभौमिक गुणों और सीमा तथा सह-सीमा की एकीकृत धारणाओं, संलग्न फंक्टरों और योनेडा लेम्मा, और टोपोस सिद्धांत को शामिल करता है, जो समुच्चय सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है और श्रेणी सिद्धांत को तर्क और गणित के वैकल्पिक आधारों से जोड़ता है।
Sub-topics
Core questions
- विभिन्न गणितीय निर्माणों को सार्वभौमिक गुणों द्वारा समान रूप से कैसे वर्णित किया जा सकता है?
- दो श्रेणियों के समतुल्य होने या किसी निर्माण के फंक्टोरियल होने का क्या अर्थ है?
- संलग्न फंक्टर गणित में इष्टतम समाधानों को कैसे पकड़ते हैं?
- एक टोपोस समुच्चयों के एक सामान्यीकृत ब्रह्मांड और तर्क के लिए एक सेटिंग के रूप में कैसे कार्य करता है?
Key theories
- योनेडा लेम्मा
- एक वस्तु को उसके अंदर या बाहर के मॉर्फिज्म के नेटवर्क द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक वस्तु फंक्टरों की एक श्रेणी में ईमानदारी से अंतर्निहित होती है, जो संरचनात्मक दृष्टिकोण को औपचारिक रूप देती है।
- सार्वभौमिक गुण और सीमाएँ
- कई निर्माण, जैसे उत्पाद, कर्नेल और पूर्णता, मानचित्रण समस्याओं के सार्वभौमिक समाधानों के रूप में विशेषता रखते हैं, उन्हें सीमाओं या सह-सीमाओं के रूप में एकीकृत करते हैं।
- संलग्न फंक्टर
- संलग्नताएँ मॉर्फिज्म के एक प्राकृतिक पत्राचार द्वारा विपरीत दिशाओं में जाने वाले फंक्टरों को जोड़ती हैं, जो मुक्त निर्माणों, विस्मृत फंक्टरों और इष्टतम गणितीय प्रक्रियाओं की एक विशाल श्रृंखला को पकड़ती हैं।
Clinical relevance
श्रेणी सिद्धांत आधुनिक गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाने वाली एक एकीकृत भाषा प्रदान करता है: यह बीजगणित, टोपोलॉजी और ज्यामिति को व्यवस्थित करता है, समरूप बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति का आधार है, प्रकार सिद्धांत और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग के शब्दार्थ की आपूर्ति करता है, और, टोपोस सिद्धांत के माध्यम से, समुच्चय-सैद्धांतिक आधारों का एक संरचनात्मक विकल्प प्रदान करता है।
History
श्रेणी सिद्धांत को आइलेनबर्ग और मैक लेन ने 1945 में बीजगणितीय टोपोलॉजी में प्राकृतिक परिवर्तनों को एक सटीक अर्थ देने के लिए प्रस्तुत किया था। ग्रोथेनडिक ने 1950 और 1960 के दशक में श्रेणीबद्ध और टोपोस-सैद्धांतिक तरीकों से बीजगणितीय ज्यामिति को नया रूप दिया, और लॉवेरे ने समुच्चयों की श्रेणी के प्राथमिक सिद्धांत और टोपोस के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के माध्यम से गणित के आधार के रूप में श्रेणी सिद्धांत को आगे बढ़ाया।
Key figures
- Samuel Eilenberg
- Saunders Mac Lane
- Alexander Grothendieck
- F. William Lawvere
Related topics
Seminal works
- maclane1998
- awodey2010
- riehl2016
Frequently asked questions
- श्रेणी सिद्धांत को अमूर्त बकवास क्यों कहा जाता है?
- यह उपनाम, जिसे स्नेहपूर्वक उपयोग किया जाता है, यह दर्शाता है कि श्रेणी सिद्धांत केवल वस्तुओं और मॉर्फिज्म का उपयोग करके उच्च स्तर की सामान्यता पर कैसे तर्क करता है, अक्सर इसमें शामिल संरचनाओं के आंतरिक विवरणों का संदर्भ दिए बिना परिणामों को समान रूप से सिद्ध करता है। सामान्यता एक विशेषता है जो तर्कों को व्यापक रूप से लागू करने योग्य बनाती है।
- क्या श्रेणी सिद्धांत समुच्चय सिद्धांत को एक आधार के रूप में प्रतिस्थापित कर सकता है?
- टोपोस सिद्धांत और संरचनात्मक समुच्चय सिद्धांत जैसे लॉवेरे का समुच्चयों की श्रेणी का प्राथमिक सिद्धांत गणित के अधिकांश भाग के लिए पर्याप्त श्रेणीबद्ध आधार प्रदान करते हैं। क्या उन्हें समुच्चय सिद्धांत को प्रतिस्थापित करना चाहिए, इस पर बहस होती है, लेकिन वे सदस्यता के बजाय संबंधों पर जोर देने वाला एक वास्तविक संरचनात्मक विकल्प प्रदान करते हैं।