समय-निर्भर और समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण
समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण एक तरंगफलन को बताता है कि वह कैसे विकसित होता है, और समय-निर्भरता को अलग करने से यह समय-स्वतंत्र समीकरण में बदल जाता है, जो एक आइगेनवैल्यू समस्या है जिसके समाधान निश्चित ऊर्जा वाले स्थिर अवस्थाएँ हैं।
Definition
समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण बताता है कि हैमिल्टोनियन तरंगफलन के समय विकास को उत्पन्न करता है, जबकि समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण परिणामी आइगेनवैल्यू समीकरण है जिसके समाधान निश्चित ऊर्जा की स्थिर अवस्थाएँ हैं।
Scope
यह विषय समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण और प्रायिकता के संरक्षण, समय-स्वतंत्र हैमिल्टोनियन के लिए चरों का पृथक्करण, ऊर्जा आइगेनवैल्यू समस्या के रूप में समय-स्वतंत्र समीकरण, स्थिर अवस्थाएँ और उनका तुच्छ प्रावस्था विकास, ऊर्जा आइगेनस्टेट्स में एक सामान्य अवस्था का विस्तार, और किसी भी अवस्था को समय में आगे बढ़ाने वाले प्रोपेगेटर को शामिल करता है।
Core questions
- हैमिल्टोनियन किसी भी क्वांटम अवस्था के विकास को कैसे निर्धारित करता है?
- समय को स्थान से अलग करने पर ऊर्जा आइगेनवैल्यू समस्या क्यों उत्पन्न होती है?
- समय विकास के तहत स्थिर अवस्थाओं में क्या विशेष है?
- किसी मनमानी अध्यारोपण की भविष्य की अवस्था की गणना कैसे की जाती है?
Key concepts
- हैमिल्टोनियन ऑपरेटर
- स्थिर अवस्था
- ऊर्जा आइगेनवैल्यू
- चरों का पृथक्करण
- प्रायिकता संरक्षण
- प्रोपेगेटर
Key theories
- चरों का पृथक्करण
- जब हैमिल्टोनियन में कोई स्पष्ट समय निर्भरता नहीं होती है, तो स्थानिक फलन गुणा समय प्रावस्था के रूप के समाधान पूर्ण समीकरण को समय-स्वतंत्र आइगेनवैल्यू समस्या में बदल देते हैं, जिसमें प्रत्येक ऊर्जा आइगेनस्टेट समय बीतने के साथ केवल एक दोलनशील प्रावस्था प्राप्त करता है।
- स्पेक्ट्रल विस्तार और प्रोपेगेटर
- किसी भी प्रारंभिक अवस्था को ऊर्जा आइगेनस्टेट्स के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक अपने स्वयं के प्रावस्था द्वारा विकसित होता है, इसलिए पूर्ण समय विकास को ऊर्जा स्पेक्ट्रम से निर्मित एक प्रोपेगेटर द्वारा कैप्चर किया जाता है जो एक समय पर अवस्था को किसी भी बाद के समय में मैप करता है।
Clinical relevance
समीकरणों की यह जोड़ी लगभग सभी क्वांटम गणनाओं के लिए प्रारंभिक बिंदु है: स्थिर अवस्थाएँ परमाणु और आणविक स्पेक्ट्रोस्कोपी में मापी गई वर्णक्रमीय रेखाएँ देती हैं, जबकि समय-निर्भर रूप क्वांटम प्रौद्योगिकी में संक्रमण, तरंग-पैकेट गतिशीलता और क्यूबिट्स के सुसंगत नियंत्रण को नियंत्रित करता है।
History
श्रोडिंगर ने 1926 में अपने पत्रों की श्रृंखला में अपने समीकरण के दोनों रूपों को प्रस्तुत किया, तुरंत समय-स्वतंत्र समीकरण को हाइड्रोजन परमाणु पर लागू किया; डिराक और वॉन न्यूमैन ने बाद में एकात्मक प्रोपेगेटरों की अमूर्त ऑपरेटर भाषा में समय विकास को फिर से परिभाषित किया।
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- John von Neumann
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Seminal works
- griffiths2018
- sakurai2017
Frequently asked questions
- यदि यह समय में विकसित होता है तो इसे स्थिर अवस्था क्यों कहा जाता है?
- एक स्थिर अवस्था केवल एक समग्र दोलनशील प्रावस्था प्राप्त करती है, जो किसी भी माप प्रायिकता या प्रत्याशा मान में रद्द हो जाती है, इसलिए सभी अवलोकन योग्य गुण समय में स्थिर रहते हैं, भले ही तरंगफलन स्वयं जटिल तल में घूमता रहता है।
- समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग कब किया जा सकता है?
- यह तब लागू होता है जब हैमिल्टोनियन स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है, जिससे चरों का पृथक्करण संभव होता है; समय-भिन्न विभवों के लिए पूर्ण समय-निर्भर समीकरण को हल करना होगा या समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करना होगा।