समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समाधान
किसी विभव में क्वांटम कण के ऊर्जा स्तरों और स्थिर तरंग फलनों का पता लगाना संगणनात्मक क्वांटम यांत्रिकी का पहला कार्य है, जिसे या तो तरंग फलन के साथ शूटिंग करके या विखंडित हैमिल्टनियन को विकर्णित करके हल किया जाता है।
Definition
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण एक आइगेनवैल्यू समीकरण है जिसके समाधान एक क्वांटम प्रणाली की स्थिर अवस्थाएँ और ऊर्जा स्तर हैं; इसे संख्यात्मक रूप से हल करने का अर्थ है एक दिए गए विभव के लिए उन आइगेनवैल्यू और आइगेनफंक्शन को खोजना।
Scope
यह विषय एक और कुछ आयामों में स्थिर श्रोडिंगर समीकरण के संख्यात्मक समाधान को शामिल करता है: आइगेनवैल्यू खोज के साथ शूटिंग और मिलान, न्यूमेरोव एकीकरण विधि, और मैट्रिक्स विधियाँ जो हैमिल्टनियन को एक ग्रिड पर या एक आधार में विखंडित करती हैं। यह बाध्य अवस्थाओं और, संक्षेप में, प्रकीर्णन अवस्थाओं का उपचार करता है।
Core questions
- शूटिंग विधि सीमा शर्तों को लागू करके ऊर्जा आइगेनवैल्यू कैसे ढूंढती है?
- न्यूमेरोव विधि श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करने के लिए इतनी उपयुक्त क्यों है?
- हैमिल्टनियन को विखंडित करना समस्या को मैट्रिक्स विकर्णीकरण में कैसे बदल देता है?
- असतत बाध्य अवस्थाओं को निरंतरता से कैसे अलग किया जाता है?
Key theories
- शूटिंग और मिलान
- तरंग फलन को एक परीक्षण ऊर्जा के लिए सीमाओं से अंदर की ओर एकीकृत किया जाता है, और ऊर्जा को तब तक समायोजित किया जाता है जब तक कि अंदरूनी और बाहरी समाधान सुचारू रूप से मेल न खाएँ, जो अनुमत आइगेनवैल्यू का चयन करता है।
- न्यूमेरोव एकीकरण
- न्यूमेरोव विधि श्रोडिंगर समीकरण की विशेष संरचना का लाभ उठाती है, जिसमें कोई पहला-व्युत्पन्न पद नहीं होता है, ताकि तरंग फलन को एकीकृत करते समय कम लागत पर उच्च-क्रम सटीकता प्राप्त की जा सके।
- हैमिल्टनियन का मैट्रिक्स विकर्णीकरण
- एक ग्रिड पर या एक परिमित आधार में हैमिल्टनियन का प्रतिनिधित्व एक मैट्रिक्स उत्पन्न करता है जिसके आइगेनवैल्यू ऊर्जा स्तर होते हैं और जिसके आइगेनवेक्टर विखंडित तरंग फलन होते हैं, जो मानक आइगेनसॉल्वर द्वारा पाए जाते हैं।
Clinical relevance
स्थिर श्रोडिंगर समीकरण को हल करने से परमाणु और आणविक ऊर्जा स्तर, क्वांटम कुओं और नैनोसंरचनाओं के स्पेक्ट्रा, और एकल-कण ऑर्बिटल्स प्राप्त होते हैं जो इलेक्ट्रॉनिक-संरचना गणनाओं को आधार प्रदान करते हैं।
History
श्रोडिंगर समीकरण का संख्यात्मक एकीकरण इसके 1926 के सूत्रीकरण के तुरंत बाद हुआ, जिसमें न्यूमेरोव विधि, जिसे मूल रूप से खगोलीय यांत्रिकी के लिए तैयार किया गया था, एक मुख्य आधार बन गई; कंप्यूटरों के विकास ने पूर्ण हैमिल्टनियन विकर्णीकरण को नियमित विकल्प बना दिया।
Key figures
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- thijssen2007
- giordano2006
Frequently asked questions
- मैट्रिक्स विकर्णीकरण के बजाय शूटिंग का उपयोग कब किया जाना चाहिए?
- शूटिंग एक-आयामी या रेडियल समस्याओं के लिए स्वाभाविक और सटीक है जहाँ एक समय में एक एकल आइगेनवैल्यू की तलाश की जाती है। मैट्रिक्स विकर्णीकरण अधिक सुविधाजनक होता है जब एक साथ कई स्तरों की आवश्यकता होती है या उच्च आयामों में जहाँ शूटिंग अजीब हो जाती है।
- इस समीकरण के लिए न्यूमेरोव विधि को क्यों पसंद किया जाता है?
- श्रोडिंगर समीकरण में कोई पहला-व्युत्पन्न पद नहीं होता है, जिसका न्यूमेरोव योजना विशेष रूप से लाभ उठाने के लिए डिज़ाइन की गई है, जो एक बुनियादी इंटीग्रेटर की तुलना में बहुत कम अतिरिक्त काम के साथ चौथी-क्रम सटीकता प्रदान करती है।