रिंग समरूपता

एक रिंग समरूपता (ring homomorphism) रिंगों के बीच एक संरचना-संरक्षण मानचित्र है, रिंग सिद्धांत का एक आकारिकी (morphism) जिसका कर्नेल (kernel) एक आदर्श (ideal) है और जिसकी छवि (image) एक उप-रिंग (subring) है, जो समरूपता प्रमेयों (isomorphism theorems) द्वारा शासित होती है।

Definition

एक रिंग समरूपता रिंगों के बीच एक फलन है जो जोड़, गुणा और (परंपरा के अनुसार) गुणात्मक पहचान को संरक्षित करता है, ताकि बीजगणितीय संक्रियाओं का सम्मान किया जा सके।

Scope

यह विषय रिंग समरूपता और समरूपता (isomorphisms), कर्नेल और छवियों की परिभाषा, रिंगों के लिए चार समरूपता प्रमेय, विशेषता (characteristic) और प्राइम सब-रिंग (prime subring), और भागफल रिंगों (quotient rings) और मूल्यांकन मानचित्रों (evaluation maps) के सार्वभौमिक गुणों को शामिल करता है।

Core questions

• एक मानचित्र के लिए रिंग संरचना को संरक्षित करने का क्या अर्थ है?
• एक समरूपता के कर्नेल और छवि आदर्शों और उप-रिंगों से कैसे संबंधित हैं?
• समरूपता प्रमेय एक भागफल के माध्यम से एक समरूपता को कैसे कारक करते हैं?
• मूल्यांकन और कमी मानचित्र रिंग समरूपता के रूप में कैसे उत्पन्न होते हैं?

Key theories

रिंगों के लिए पहला समरूपता प्रमेय

प्रत्येक रिंग समरूपता अपनी छवि पर एक सर्जेक्शन (surjection) के रूप में कारक होती है जिसके बाद एक समावेश होता है, और इसकी छवि इसके कर्नेल द्वारा डोमेन के भागफल के लिए समरूपी होती है, जो एक आदर्श है।

पत्राचार और समरूपता प्रमेय

एक आदर्श द्वारा भागफल इसे समाहित करने वाले आदर्शों और भागफल के आदर्शों के बीच एक द्विभाजन स्थापित करता है, और दूसरा, तीसरा और चौथा समरूपता प्रमेय वर्णन करते हैं कि उप-रिंग, आदर्श और भागफल समरूपता के तहत कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

भागफलों का सार्वभौमिक गुण

एक समरूपता जिसका कर्नेल एक दिए गए आदर्श को समाहित करता है, उस आदर्श द्वारा भागफल के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक होता है, इसलिए भागफल रिंग समरूपी छवियों के बीच सार्वभौमिक होते हैं जो आदर्श को समाप्त करते हैं।

Clinical relevance

रिंग समरूपता बीजगणित की बुनियादी संक्रियाओं को औपचारिक रूप देती है: एक पूर्णांक या बहुपद के मॉड्यूलो (modulo) में कमी, बहुपदों का मूल्यांकन, और एक रिंग का एक बड़े रिंग में समावेश सभी समरूपताएँ हैं। वे रिंगों को एक श्रेणी (category) में बनाते हैं और वे मानचित्र हैं जिनके साथ संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में संरचना और संगणना स्थानांतरित होती है।

History

समरूपता और समरूपता प्रमेयों को 1920 के दशक में एमी नोएथर के संरचनात्मक बीजगणित कार्यक्रम के हिस्से के रूप में समूह सिद्धांत से रिंगों तक अमूर्त किया गया था, जो उन निर्माणों को एकीकृत करता था जिन्हें पहले संख्या सिद्धांत और समीकरणों के सिद्धांत में मामले-दर-मामले माना जाता था।

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

रिंग समरूपता का कर्नेल एक आदर्श क्यों होना चाहिए?

कर्नेल जोड़ के तहत बंद होता है और, क्योंकि मानचित्र उत्पादों को उत्पादों पर भेजता है और कर्नेल तत्व की छवि शून्य होती है, यह किसी भी रिंग तत्व द्वारा गुणन को अवशोषित करता है। वह अवशोषण गुण बिल्कुल एक आदर्श की परिभाषा है।

रोजमर्रा के बीजगणित में रिंग समरूपता का एक उदाहरण क्या है?

पूर्णांकों का मॉड्यूलो n में कमी, एक निश्चित संख्या पर एक बहुपद का मूल्यांकन, और जटिल संयुग्मन सभी रिंग समरूपताएँ हैं। प्रत्येक योग और उत्पादों को संरक्षित करता है, और समरूपता प्रमेय उनकी छवियों को भागफल रिंगों के रूप में वर्णित करते हैं।